В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 29°. Найдите градусную меру угла APC.

### Решение задания 8 В треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\circ$, стороны $AC$ и $BC$ равны, значит, треугольник равнобедренный. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по $45^\circ$ ($45^\circ + 45^\circ + 90^\circ = 180^\circ$). Точка $P$ лежит на стороне $AB$. Угол $\angle ACP = 29^\circ$. Так как угол $\angle ACB = 90^\circ$, то: $\angle PCB = \angle ACB - \angle ACP = 90^\circ - 29^\circ = 61^\circ$. Рассмотрим треугольник $PCB$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Угол $\angle B = 45^\circ$, угол $\angle PCB = 61^\circ$: $\angle BPC = 180^\circ - (45^\circ + 61^\circ) = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. Углы $\angle APC$ и $\angle BPC$ смежные, их сумма равна $180^\circ$: $\angle APC = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$. **Ответ: 106** ### Решение задания 9 1) На графике видно, что линии (графики движения) пересекаются в точке, где по вертикальной оси значение равно $80$ км (расстояние от пункта Б). Поскольку исходное расстояние между А и Б — $200$ км, то расстояние от пункта А составляет: $200 - 80 = 120$ км. **Ответ: 120** 2) Для построения графика возвращения автомобиля в пункт А нужно учесть: - Автомобиль доехал до пункта Б (расстояние 0 км от Б) и стоял там 4 часа. - Затем поехал обратно с той же скоростью. На графике это будет прямая линия, идущая вверх из точки $(t_{прибытия} + 4, 0)$ до $(t_{обратно}, 200)$. Скорость (наклон) должна быть такой же, как на пути «туда». Ориентировочно, если он проехал 200 км за 10 часов (с 8 до 18), то обратно он доберется до А за такое же время движения. ### Решение задания 10 Найти значение выражения: $a^2 - 2a + 1 + (a + 1)(1 - a)$ при $a = 2.5$. Раскроем скобки: 1) $a^2 - 2a + 1$ — это формула квадрата разности: $(a - 1)^2$. 2) $(a + 1)(1 - a) = (1 + a)(1 - a) = 1 - a^2$ (разность квадратов). Сложим: $(a^2 - 2a + 1) + (1 - a^2) = a^2 - 2a + 1 + 1 - a^2 = -2a + 2$. Подставим $a = 2.5$: $-2 \cdot 2.5 + 2 = -5 + 2 = -3$. **Ответ: -3**