1.29. Решить матричные уравнения:

Для решения матричного уравнения $A \cdot X = B$, где $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -4 \\ 2 & -5 & -4 \\ 3 & -8 & -7 \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, необходимо найти $X = A^{-1} \cdot B$. 1. Найдем определитель матрицы $A$ (det $A$): $\det A = 1((-5)(-7) - (-4)(-8)) - (-3)(2(-7) - (-4)(3)) + (-4)(2(-8) - (-5)(3))$ $= 1(35 - 32) + 3(-14 + 12) - 4(-16 + 15)$ $= 3 + 3(-2) - 4(-1) = 3 - 6 + 4 = 1$. Определитель равен 1, значит обратная матрица существует. 2. Найдем союзную матрицу (транспонированную матрицу алгебраических дополнений $C^T$): Алгебраические дополнения $A_{ij}$: $A_{11} = 3, A_{12} = 2, A_{13} = -1$ $A_{21} = 11, A_{22} = 5, A_{23} = -1$ $A_{31} = -8, A_{32} = -4, A_{33} = 1$ $A^{-1} = \frac{1}{\det A} C^T = \begin{pmatrix} 3 & 11 & -8 \\ 2 & 5 & -4 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. 3. Вычислим $X = A^{-1} \cdot B$: $X = \begin{pmatrix} 3 & 11 & -8 \\ 2 & 5 & -4 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ Элементы матрицы $X$: $x_{11} = 3(1) + 11(-2) + (-8)(1) = 3 - 22 - 8 = -27$ $x_{12} = 3(0) + 11(1) + (-8)(0) = 11$ $x_{13} = 3(1) + 11(0) + (-8)(-1) = 3 + 8 = 11$ $x_{21} = 2(1) + 5(-2) + (-4)(1) = 2 - 10 - 4 = -12$ $x_{22} = 2(0) + 5(1) + (-4)(0) = 5$ $x_{23} = 2(1) + 5(0) + (-4)(-1) = 2 + 4 = 6$ $x_{31} = -1(1) - 1(-2) + 1(1) = -1 + 2 + 1 = 2$ $x_{32} = -1(0) - 1(1) + 1(0) = -1$ $x_{33} = -1(1) - 1(0) + 1(-1) = -1 - 1 = -2$ **Ответ:** $X = \begin{pmatrix} -27 & 11 & 11 \\ -12 & 5 & 6 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$