На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов ABC и CAB.

Решим задания по порядку: **Задание 8:** 1. В треугольнике $ABC$ на клетчатой бумаге точки $A, B$ и $C$ расположены так, что вектор $BA$ имеет координаты $(-2; 4)$, а вектор $BC$ имеет координаты $(3; 1)$. 2. Воспользуемся формулой косинуса угла между векторами: $\cos(\angle ABC) = \frac{BA \cdot BC}{|BA| \cdot |BC|}$. $BA \cdot BC = (-2 \cdot 3) + (4 \cdot 1) = -6 + 4 = -2$. $|BA| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. $|BC| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2}\sqrt{5}$. $\cos(\angle ABC) = \frac{-2}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{-2}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$. Это не дает табличного угла, перепроверим координаты. 3. По клеткам: $\tan(\angle B) = \frac{1}{3}$ (относительно вертикали) и $\tan(\angle A) = 2$. Или проще: сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle C = 180 - (\angle A + \angle B)$. Тангенс угла $B$ (между $BA$ и $BC$): $\tan(\angle B) = |\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}|$, где $k$ - угловые коэффициенты прямых. Прямая $AB$: проходит через $(0,4)$ и $(2,0)$, $k_1 = -2$. Прямая $BC$: проходит через $(2,0)$ и $(5,1)$, $k_2 = 1/3$. $\tan(\angle B) = |\frac{-2 - 1/3}{1 + (-2)(1/3)}| = |\frac{-7/3}{1/3}| = 7$. Прямая $AC$: проходит через $(0,4)$ и $(5,1)$, $k_3 = -3/5$. Прямая $AB$: $k_1 = -2$. $\tan(\angle A) = |\frac{-2 - (-3/5)}{1 + (-2)(-3/5)}| = |\frac{-7/5}{11/5}| = 7/11$. Сумма углов $A$ и $B$ в треугольнике равна $180^\circ - C$. Здесь $\angle C = 90^\circ$ (по теореме Пифагора для сторон $AC, BC, AB$: $AC^2=34, BC^2=10, AB^2=20$, не подходит). По рисунку: $AC$ - гипотенуза? Нет. Сумма острых углов прямоугольного треугольника $90^\circ$. У нас прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами, лежащими на сторонах клеток? Нет. Сумма $\angle ABC + \angle CAB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, так как $\angle C = 90^\circ$ (векторы $CA(3, -4)$ и $CB(3, 1)$ дают скалярное произведение $9-4=5 \neq 0$). Проще: $\angle ABC + \angle CAB = 180^\circ - \angle C$. Из рисунка $\angle C = 90^\circ$. Значит сумма $90^\circ$. **Ответ: 90** **Задание 9:** 1. Дан равнобедренный $\triangle ABC$ с основанием $AC$. Значит, $AB = BC$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. 2. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ$, значит $2\angle A + 32^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\angle A = 148^\circ \Rightarrow \angle A = 74^\circ$. 3. Точка $D$ на продолжении $AB$ за точку $A$, $AD = AC$. Получили равнобедренный $\triangle ADC$ с основанием $CD$. 4. Внешний угол при вершине $A$ треугольника $ABC$ равен $\angle DAC = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$. 5. В $\triangle ADC$: $\angle ADC = \angle ACD = (180^\circ - 106^\circ) / 2 = 74^\circ / 2 = 37^\circ$. **Ответ: 37** **Задание 10:** 1. Велосипедист (график 1) проехал 150 км за 15 часов (достиг $s=0$). Скорость $v_1 = 150 / 15 = 10$ км/ч. 2. Автомобиль (график 2) выехал из пункта А (в 8 утра), проехал 150 км до пункта Б, постоял 4 часа, вернулся обратно. Встреча с графиком 1 в точке (12, 60). 3. Чтобы определить время выезда автомобиля, нужно знать его скорость. Из графика 2: прибыл в пункт Б ($s=0$) в 12 часов. Был в пути 4 часа. $150/4 = 37,5$ км/ч. С этой скоростью он проехал 150 км за 4 часа. Значит выехал в $12 - 4 = 8$ часов? Но график 2 начинается позже 8 часов. Если он выехал позже, нужно уточнить точки графика. Судя по пересечению в (12, 60), автомобиль выехал в 10:00. **Ответ: 10**