Question

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 8, BC = 12. Найдите биссектрису этого треугольника BL, если ∠ABC = 60°.

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся методом площадей. Пусть $BL = x$. Биссектриса делит угол $ABC = 60^\circ$ пополам, значит, $\angle ABL = \angle CBL = 30^\circ$.

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABL$ и $CBL$:
$S_{ABC} = S_{ABL} + S_{CBL}$

Формула площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

1. Найдем площадь всего треугольника:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$

2. Запишем площади треугольников через биссектрису $x$:
$S_{ABL} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BL \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 2x$
$S_{CBL} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BL \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 3x$

3. Составим уравнение:
$2x + 3x = 24\sqrt{3}$
$5x = 24\sqrt{3}$
$x = \frac{24\sqrt{3}}{5} = 4,8\sqrt{3}$

Ответ: 4,8\sqrt{3}

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 8, BC = 12. Найдите биссектрису этого треугольника BL, если ∠ABC = 60°.

Ответ ассистента

Другие решения