Question

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках S и T. На одной из дуг этой окружности выбрали точку L. Найдите величину угла SLT.

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных и вписанных углов.

1. Пусть $O$ — центр окружности, вписанной в угол с вершиной $P$. Радиусы $OS$ и $OT$, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам угла ($OS \perp PS$, $OT \perp PT$).
2. Рассмотрим четырехугольник $PSOT$. У него два прямых угла: $\angle PSO = 90^\circ$ и $\angle PTO = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle SOT = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Это центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $ST$.
3. Величина вписанного угла $SLT$, который опирается на эту же дугу (если точка $L$ лежит на большей дуге), равна половине центрального: $\angle SLT = 110^\circ / 2 = 55^\circ$.
4. Если же точка $L$ лежит на меньшей дуге $ST$, то точки $S, L, T, O$ образуют вписанный четырехугольник, где $\angle SLT + \angle SOT = 180^\circ$. Тогда $\angle SLT = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

Ответ: 55° или 125°.

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках S и T. На одной из дуг этой окружности выбрали точку L. Найдите величину угла SLT.

Ответ ассистента

Другие решения