В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tg A = sqrt(5)/2. Найдите длину стороны AC.

Давай разберем задачи по очереди. ### 1. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tg A = sqrt(5)/2. Найдите длину стороны AC. Так как треугольник равнобедренный (AC=BC), углы при основании равны: ∠A = ∠B. Проведем высоту CH к основанию AB. Она делит основание пополам, значит AH = HB = 20/2 = 10. В прямоугольном треугольнике AHC: tg A = CH / AH. CH = AH * tg A = 10 * (sqrt(5)/2) = 5 * sqrt(5). Теперь по теореме Пифагора в треугольнике AHC: AC^2 = AH^2 + CH^2 = 10^2 + (5 * sqrt(5))^2 = 100 + 25 * 5 = 100 + 125 = 225. AC = 15. **Ответ: 15.** ### 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка AH. В прямоугольном треугольнике AHC (угол H прямой, так как CH — высота): AH = AC * cos A. В большом треугольнике ABC: AC = AB * cos A. Значит, AH = AB * cos^2 A. Найдем cos^2 A: cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (5/6)^2 = 1 - 25/36 = 11/36. AH = 36 * (11/36) = 11. **Ответ: 11.** ### 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 1, BC = sqrt(99). Найдите cos A. Гипотенуза AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + (sqrt(99))^2 = 1 + 99 = 100. AB = 10. cos A = AC / AB = 1 / 10 = 0,1. **Ответ: 0,1.** ### 4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 9, tg A = 0,75. Найдите длину стороны AC. tg A = BC / AC. AC = BC / tg A = 9 / 0,75 = 12. **Ответ: 12.** ### 5. На клетчатой бумаге изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы. Катеты треугольника по клеткам равны: один 3, другой 4. По теореме Пифагора: гипотенуза = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5. **Ответ: 5.** ### 6. На клетчатой бумаге изображен треугольник ABC. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины B. Медиана делит сторону AC пополам. Точка A находится в координатах (0,0) (условно), C — в (6,0), B — в (1,2) (по рисунку: от A идем 1 влево вверх, а там B). Посмотрим по клеточкам: A=(0,0), C=(6,0), B=(1,2). Середина AC (точка M) имеет координаты ((0+6)/2, 0) = (3, 0). Длина медианы BM — это расстояние между (1,2) и (3,0). BM = sqrt((3-1)^2 + (0-2)^2) = sqrt(2^2 + (-2)^2) = sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2). **Ответ: 2*sqrt(2).** ### 7. На клетчатой бумаге изображен острый угол. Найдите тангенс этого угла. Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Выберем удобную точку на стороне угла. Вертикальный катет равен 3 клетки, горизонтальный равен 4 клетки. tg = 3 / 4 = 0,75. **Ответ: 0,75.**