Question

Дополните доказательство этого утверждения от противного, используя обозначения рисунка. Если касательная пересекает секущую, проходящую через центр окружности, в точке на окружности, то эти прямые перпендикулярны.

Accepted Answer

Допущение: пропуски заполнены на основе логики доказательства теоремы о перпендикулярности касательной и радиуса, проведённого в точку касания.

Заполним пропуски в доказательстве:

1. Рассмотрим окружность с центром $O$. Пусть через её точку $P$ проведены содержащая центр окружности секущая $KL$ и касательная $MN$. Допустим, что они не перпендикулярны, для определённости будем считать острым угол $LPM$.
2. Опустим из центра окружности перпендикуляр $OR$ на прямую $MN$.
3. На луче $RM$ отложим отрезок $RT$, равный отрезку $RP$.
4. Треугольники $ROT$ и $ROP$ равны (по двум катетам).
5. Отрезки $OT$ и $OP$ равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников.
6. Поскольку отрезок $OP$ равен радиусу окружности, точка $T$ должна принадлежать ей.
7. Это невозможно, так как эта точка принадлежит касательной, имеющей с окружностью другую общую точку $P$.

Ответ:
1) $OR$; $MN$
2) $RM$; $RT$; $RP$
3) $ROP$
4) $OP$
5) $OP$

Ответ ассистента

Другие решения