Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3, а плоский угол при вершине пирамиды равен 30°. Найди площадь основания пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадрат в основании, $H$ — высота пирамиды ($H=3$). Обозначим сторону основания через $a$, а боковое ребро через $b$. 1. Рассмотрим боковую грань $SAB$. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b$ и углом при вершине $\angle ASB = 30^\circ$. Основание этого треугольника — сторона квадрата $AB = a$. 2. По теореме косинусов для треугольника $SAB$: $a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos 30^\circ = 2b^2 - 2b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2b^2 - b^2\sqrt{3} = b^2(2 - \sqrt{3})$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, половиной диагонали квадрата и боковым ребром $b$. Половина диагонали квадрата $d/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. $b^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = H^2 + \frac{2a^2}{4} = H^2 + \frac{a^2}{2}$. 4. Подставим $b^2$ из первого уравнения во второе: $b^2 = \frac{a^2}{2 - \sqrt{3}}$. $\frac{a^2}{2 - \sqrt{3}} = H^2 + \frac{a^2}{2} \Rightarrow \frac{a^2}{2 - \sqrt{3}} - \frac{a^2}{2} = H^2$. $a^2 (\frac{2 - (2 - \sqrt{3})}{2(2 - \sqrt{3})}) = H^2 \Rightarrow a^2 (\frac{\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}}) = H^2$. 5. Площадь основания $S_{осн} = a^2$. Выразим $a^2$: $a^2 = H^2 \cdot \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3^2 \cdot (\frac{4}{\sqrt{3}} - 2) = 9 \cdot (\frac{4\sqrt{3}}{3} - 2) = 12\sqrt{3} - 18$. **Ответ:** $12\sqrt{3} - 18$.