Стороны угла A касаются окружности с центром в т. O, ∠A=60°, OA=18см. Найти радиус окружности.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии из твоего теста. ### Задача 1 **Условие:** Стороны угла A касаются окружности с центром в т. O, $\angle A = 60^\circ$, $OA = 18$ см. Найти радиус окружности. **Решение:** 1. Пусть $R$ — радиус окружности, проведенный в точку касания на одной из сторон угла. Тогда радиус перпендикулярен стороне угла. 2. Образуется прямоугольный треугольник, где $OA$ — гипотенуза, а радиус $R$ — катет, противолежащий углу, который равен половине угла $A$ (так как центр окружности лежит на биссектрисе угла). 3. Угол при вершине $A$ в прямоугольном треугольнике равен $60^\circ / 2 = 30^\circ$. 4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $R = OA / 2 = 18 / 2 = 9$ см. **Ответ:** 9 см. ### Задача 2 **Условие:** Биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ в $\triangle ABC$ пересекаются в т. $M$. Найти $\angle ACM$ и $\angle BCM$, если $\angle AMB = 124^\circ$. **Решение:** 1. В треугольнике $AMB$ сумма углов $180^\circ$. $\angle MAB + \angle MBA = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$. 2. Так как $AA_1$ и $BB_1$ — биссектрисы, то $\angle A + \angle B = 2 \cdot (\angle MAB + \angle MBA) = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ$. 3. Сумма всех углов в $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Значит, $\angle C = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. 4. Точка $M$ — точка пересечения биссектрис (инцентр). Значит, $CM$ — тоже биссектриса угла $C$. Поэтому $\angle ACM = \angle BCM = \angle C / 2 = 68^\circ / 2 = 34^\circ$. **Ответ:** 34° и 34°. ### Задача 3 **Условие:** В равнобедренном $\triangle ABC$ (где $AB=BC$, так как обычно в равнобедренном треугольнике при таких задачах основание то, что не равно боковым, но тут сказано "равнобедренный" и нужно найти $AC$) проведен серединный перпендикуляр к стороне $AB$ и пересекает сторону $BC$ в т. $E$. Периметр $\triangle AEC$ равен 26 см, $AB=9$ см. Найти $AC$. **Решение:** 1. Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, любая точка на нем равноудалена от концов отрезка. Значит, $AE = BE$. 2. Периметр треугольника $AEC$ равен $AE + EC + AC = 26$. 3. Так как $AE = BE$, заменим $AE$ на $BE$: $BE + EC + AC = 26$. 4. Заметим, что $BE + EC = BC$. Значит, $BC + AC = 26$. 5. В условии сказано, что треугольник равнобедренный. Обычно в таких задачах $AC$ — основание. $AB = BC = 9$ см. 6. Тогда $9 + AC = 26 \implies AC = 26 - 9 = 17$ см. **Ответ:** 17 см.