Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

Давай разберем первые три задачи из учебника, чтобы ты понял принцип. ### Задача 279 Пусть $x$ см — длина перпендикуляра, $y$ см — длина наклонной. По условию задачи: 1) $x + y = 17$ 2) $y - x = 1$ (так как наклонная всегда длиннее перпендикуляра) Сложим эти уравнения: $2y = 18 \Rightarrow y = 9 \text{ (см)} \text{ — длина наклонной.}$ Теперь найдем $x$: $x = 17 - 9 = 8 \text{ (см)} \text{ — длина перпендикуляра.}$ **Ответ:** 8 см. ### Задача 280 В равностороннем $\triangle ABC$ биссектриса $AD$ является также высотой, опущенной на сторону $BC$. Значит, $\angle ADB = 90^\circ$, и $D$ лежит на $BC$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ — это перпендикуляр, опущенный из $D$ на $AC$. Пусть это отрезок $DH$. В $\triangle ADC$: $\angle C = 60^\circ$ (свойство равностороннего треугольника). В прямоугольном $\triangle DHC$ (где $\angle H = 90^\circ$): $\angle HDC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $DH$ лежит против угла $30^\circ$ в прямоугольном треугольнике, поэтому он равен половине гипотенузы $DC$: $DC = 2 \cdot DH = 2 \cdot 6 = 12 \text{ (см)}$. Так как $D$ — середина $BC$, то $BC = 2 \cdot DC = 24 \text{ (см)}$. В равностороннем треугольнике $AB = BC = AC = 24 \text{ (см)}$. Расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ — это высота $AD$. По теореме Пифагора из $\triangle ADC$: $AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \text{ (см)}$. **Ответ:** $12\sqrt{3}$ см. ### Задача 281 Дано: $\triangle CDE$ — прямоугольный, гипотенуза $CE$, катет $CD$. $CE + CD = 31$ $CE - CD = 3$ Сложим уравнения: $2 \cdot CE = 34 \Rightarrow CE = 17 \text{ (см)}$. $CD = 17 - 3 = 14 \text{ (см)}$. Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза $CE$, то прямой угол находится при вершине $D$ ($\angle D = 90^\circ$). Расстояние от точки $C$ до прямой $DE$ (катета) — это длина катета $CD$, так как $CD \perp DE$. **Ответ:** 14 см.