Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

### Решение задачи 709 **Дано:** параллелограмм $ABCD$, вписанный в окружность. **Доказать:** $ABCD$ — прямоугольник. **Доказательство:** 1. В параллелограмме противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. 2. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. 3. Следовательно, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, получаем: $2\angle A = 180^\circ$, откуда $\angle A = 90^\circ$. 4. Параллелограмм, у которого один угол прямой, является прямоугольником. **Ответ:** доказано. ### Решение задачи 710 **Дано:** трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$), вписанная в окружность. **Доказать:** трапеция $ABCD$ — равнобедренная. **Доказательство:** 1. Так как трапеция вписана в окружность, сумма её противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. 2. У трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$. 3. Сравнивая $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle A + \angle B = 180^\circ$, получаем $\angle B = \angle C$ (углы при одном основании). 4. Также $\angle A + \angle D = 180^\circ$ (так как $\angle B + \angle D = 180^\circ$ и $\angle B = \angle C$, и так как $\angle C + \angle D = 180^\circ$ — прилежащие к боковой стороне), из чего следует, что $\angle A = \angle D$. 5. Так как углы при основании равны, трапеция является равнобедренной. **Ответ:** доказано.