349. Две окружности с центрами O1 и O2 вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках A и D, а вторая — в точках B и C. Докажите, что AB = CD.

Допущение: Текст задачи восстановлен как «349. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках $A$ и $D$, а вторая — в точках $B$ и $C$. Докажите, что $AB = CD$.» ### Решение: 1. Пусть вершины угла — точка $S$. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны. 2. Для первой окружности с центром $O_1$: $SA = SD$ (отрезки касательных из точки $S$). 3. Для второй окружности с центром $O_2$: $SB = SC$ (отрезки касательных из точки $S$). 4. Из равенств $SA = SD$ и $SB = SC$ следует, что треугольники $\triangle SAD$ и $\triangle SBC$ являются равнобедренными с общей вершиной $S$. 5. Углы при основании равнобедренных треугольников равны: $\angle SAD = \angle SDA = (180^\circ - \angle S) / 2$ и $\angle SBC = \angle SCB = (180^\circ - \angle S) / 2$. 6. Так как углы при основании у треугольников равны ($\angle SAD = \angle SBC$), значит, треугольники подобны (или можно рассмотреть гомотетию с центром $S$, переводящую первую окружность во вторую). 7. Из подобия следует, что стороны пропорциональны: $\frac{SA}{SB} = \frac{SD}{SC} = \frac{AD}{BC}$. Однако, нам нужно доказать равенство $AB = CD$. 8. Заметим, что точки $A, B$ лежат на одной стороне угла, а $D, C$ — на другой. Обозначим $SA = SD = x$ и $SB = SC = y$. Тогда $AB = |y - x|$ и $CD = |y - x|$. 9. Следовательно, $AB = CD$. Что и требовалось доказать.