Найти: ∠CAD (рис. 4.142).

Привет! Давай разберем задачи по очереди. ### 1) Найти $\angle CAD$ (рис. 4.142) На рисунке 4.142 треугольник $ABC$ (вероятно, имеется в виду треугольник с вершинами $A, B, C$) имеет угол $B = 90^\circ$. Внутри есть отрезок $CC_1$, который делит угол $C$. Из чертежа видно, что $CC_1 = 8$, а гипотенуза или сторона $AC = 16$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1B$ (если $C_1B$ перпендикулярно $AB$): здесь $CC_1 = 8$, гипотенуза $AC = 16$. Если $C_1$ лежит на $AB$, то $\sin(\angle ACC_1) = \frac{C_1B}{AC}$... На самом деле, проще заметить: в прямоугольном треугольнике катет $C_1B$ (который равен 8) лежит против угла, синус которого равен $\frac{8}{16} = 0.5$. Это угол $30^\circ$. Значит, угол $AC_1C$ не нужен, нам нужен угол при вершине $C$. Если катет $8$ лежит против гипотенузы $16$, то угол между ними $30^\circ$. Так как на чертеже $\angle ACB$ разделен, и мы видим, что треугольник $CC_1A$ прямоугольный, то $\angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$. ### 2) Найти $AD$ (рис. 4.143) Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$). $CD$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Дано: $CB = 5$, $AC = 10$. Сначала найдем $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + CB^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$. $AB = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. Теперь воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. $CB^2 = AB \cdot BD \Rightarrow 5^2 = 5\sqrt{5} \cdot BD \Rightarrow 25 = 5\sqrt{5} \cdot BD \Rightarrow BD = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$. Тогда $AD = AB - BD = 5\sqrt{5} - \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$. **Ответ:** $4\sqrt{5}$. ### 3) Найти $AB$ (рис. 4.144) Дано: $AC = DC = 4$. $BF \perp AC$ (похоже на ошибку в подписи или рисунке, вероятно $BF \perp AD$). Если $AC = DC = 4$, то треугольник $ACD$ равнобедренный с основанием $AD$. Высота $CF$ в равнобедренном треугольнике является и медианой, значит $AF = FD$. В треугольнике $ACF$: $\angle ACF = 30^\circ$, $AC = 4$. $AF = AC \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot 0.5 = 2$. Так как $AF = FD$, то $AD = 4$. Нам нужно найти $AB$. Видим треугольник $ABF$ — прямоугольный (угол $B = 90^\circ$). В треугольнике $ACF$ угол $\angle CAF = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Тогда в треугольнике $ABF$: $\angle BAF = 60^\circ$, $AF = 2$. $AB = AF \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 0.5 = 1$. **Ответ:** 1.