В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. Ответ дайте в градусах.

### Решение задачи 1: 1. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$. 2. Найдем угол $C$: $\angle C = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$. 3. Так как $CE$ — биссектриса, она делит угол $C$ пополам. Следовательно, $\angle BCE = \angle C / 2 = 56^{\circ} / 2 = 28^{\circ}$. **Ответ: 28** ### Решение задачи 2: 1. В треугольнике $CBM$ проведена высота $MP$, значит $\angle MPC = 90^{\circ}$. Также нам дано, что $\angle KMP = 90^{\circ}$. Это значит, что прямые $MP$ и $MK$ совпадают, либо $P$ и $K$ — одна и та же точка. Однако, исходя из условий задачи (высота в одном треугольнике, биссектриса в другом), это обычно означает, что $MK$ является биссектрисой угла $AMB$ и высотой в треугольнике $CBM$. Если $MP$ — высота в $\triangle CBM$ к стороне $CB$ (или $CM$?), условие сформулировано немного странно. Давай перечитаем внимательно: «В треугольнике $ABM$ провели биссектрису $MK$. В треугольнике $CBM$ построили высоту $MP$. Угол $KMP$ равен $90^{\circ}$». Если $MK$ — биссектриса $\angle AMB$, а $MP$ — высота, и $\angle KMP = 90^{\circ}$, значит $MK \perp MP$. Так как $MP$ — высота, $MP \perp BC$. Тогда $MK \parallel BC$. Так как $MK$ — биссектриса, $\angle AMK = \angle KMB$. Если $MK \parallel BC$, то $\angle KMB = \angle MBC$ (накрест лежащие). Значит $\angle AMK = \angle MBC$. Поскольку $MK \parallel BC$, треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ABC$ подобны (или проще через углы). Однако, из условия $CM=12$, а нужно найти $BM$. Обычно в таких задачах треугольники равнобедренные или используются свойства биссектрисы. Если $MK$ — биссектриса $\angle AMB$, то $BK/KA = BM/MA$. Так как $MP$ — высота, в $\triangle CMP$ и $\triangle BMP$ есть общая сторона $MP$. Если $CM=12$, и это прямоугольный треугольник, а высота $MP$ делит $BC$... здесь недостаточно данных для точного определения $BM$ без дополнительных углов или сторон (например, является ли $ABC$ равнобедренным). В условии «В треугольнике $CBM$ построили высоту $MP$» — высота к какой стороне? Если $MP \perp CB$, то в $\triangle CMP$ угол $MPC=90$. Угол $KMP=90$. Если $K, M, P$ лежат на одной прямой — это невозможно. Если $MK \perp MP$, то $MK \parallel BC$. Если $MK$ параллельна $BC$, то $BM$ не может быть найдено однозначно без других данных. Скорее всего, в условии опечатка или подразумевается специфическая геометрическая конфигурация, где $BM=CM=12$ (например, если $M$ середина $AC$ и треугольник равнобедренный). Но исходя из текста: **Ответ: Недостаточно данных для решения.**