Задача 3. Равнобедренный треугольник ABC вписан в окружность, отрезок OD=4. Найти площадь треугольника.

Допущение: на рисунке отмечено, что $AC = BC$ (равнобедренный треугольник), $CD \perp AB$, точка $O$ — центр окружности, $D$ лежит на $AB$. В равнобедренном треугольнике высота $CD$, проведенная к основанию, является медианой, значит $AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ODB$. По теореме Пифагора найдем радиус окружности $R = OB$: $OB = \sqrt{OD^2 + DB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. 2. Так как $O$ — центр окружности, то отрезок $OC$ также является радиусом, $OC = R = 5$. 3. Найдем полную высоту треугольника $CD$: $CD = CO + OD = 5 + 4 = 9$. 4. Вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 3 \cdot 9 = 27$. **Ответ: 27**