4.16. 4sin^2 x - 4sin x - 3 = 0; 4.29. 2cos^2 x - 5cos x + 3 = 0;

Привет! Давай решим эти тригонометрические уравнения. Везде будем делать замену переменной, чтобы свести их к квадратным. ### 4.16. $4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. $4t^2 - 4t - 3 = 0$ $D = 16 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$ $t_1 = \frac{4 + 8}{8} = 1.5$ (не подходит, $|t| > 1$) $t_2 = \frac{4 - 8}{8} = -0.5$ Вернемся к $\sin x = -0.5$: $x = (-1)^k \arcsin(-0.5) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 4.29. $2\cos^2 x - 5\cos x + 3 = 0$ Пусть $\cos x = t$, $|t| \le 1$. $2t^2 - 5t + 3 = 0$ Корни по теореме Виета или через дискриминант ($D=25-24=1$): $t_1 = 1, t_2 = 1.5$ (не подходит). $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 4.15. $3\text{ctg}^2 x - 5\text{ctg} x + 2 = 0$ Пусть $\text{ctg} x = t$. $3t^2 - 5t + 2 = 0$ $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$ $t_1 = \frac{5+1}{6} = 1, t_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{2}{3}$. 1) $\text{ctg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{ctg} x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \text{arcctg}(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 5.11. $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$ Используем $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0$. $2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$. Пусть $\cos x = t$. $2t^2 - 3t - 2 = 0$ $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 = 5^2$. $t_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ (не подходит). $t_2 = \frac{3-5}{4} = -0.5$. $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \arccos(-0.5) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 5.3. $\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ Используем $1 - \sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0$. $-\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0 \Rightarrow \sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0$. Пусть $\sin x = t$. $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 2$ (не подходит). $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 5.17. $\text{tg} x - 4\text{ctg} x - 3 = 0$ $\text{tg} x - \frac{4}{\text{tg} x} - 3 = 0$. Пусть $\text{tg} x = t, t \neq 0$. $t^2 - 3t - 4 = 0$. Корни $t_1 = 4, t_2 = -1$. 1) $\text{tg} x = 4 \Rightarrow x = \text{arctg} 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.