sin(β - π)sin(2π - β)cos(β - 2π) / (sin(π/2 - β)ctg(π - β)ctg(α + 3π/2)) = sin^2 β

Для решения воспользуемся формулами приведения: 1) $\sin(\beta - \pi) = -\sin(\pi - \beta) = -\sin \beta$ 2) $\sin(2\pi - \beta) = -\sin \beta$ 3) $\cos(\beta - 2\pi) = \cos(2\pi - \beta) = \cos \beta$ 4) $\sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = \cos \beta$ 5) $\operatorname{ctg}(\pi - \beta) = -\operatorname{ctg} \beta = -\frac{\cos \beta}{\sin \beta}$ 6) $\operatorname{ctg}(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{tg} \alpha$ (так как $\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$, подождите, здесь $\alpha$ или опечатка в условии? Если считать это выражением относительно $\beta$, то $\operatorname{ctg}(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\operatorname{tg} \alpha$. Если это часть тождества, которое нужно доказать, возможно, в условии опечатка, и там тоже $\beta$. Предположим, что в последнем множителе знаменателя также $\beta$, то есть $\operatorname{ctg}(\beta + \frac{3\pi}{2}) = -\operatorname{tg} \beta = -\frac{\sin \beta}{\cos \beta}$). Подставим преобразованные выражения в числитель и знаменатель: Числитель: $(-\sin \beta) \cdot (-\sin \beta) \cdot \cos \beta = \sin^2 \beta \cdot \cos \beta$ Знаменатель: $\cos \beta \cdot (-\frac{\cos \beta}{\sin \beta}) \cdot (-\operatorname{tg} \beta) = \cos \beta \cdot (-\frac{\cos \beta}{\sin \beta}) \cdot (-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}) = \cos \beta$ Разделим числитель на знаменатель: $\frac{\sin^2 \beta \cdot \cos \beta}{\cos \beta} = \sin^2 \beta$ Тождество верно при условии, что в последнем множителе знаменателя также используется угол $\beta$.