Сколько существует программ, для которых при исходном числе 3 результатом является число 51 и при этом траектория вычислений содержит число 11?

Для решения этой задачи нужно разбить путь от 3 до 51 на две части через промежуточную точку 11: сначала найти количество способов дойти из 3 в 11, затем из 11 в 51. Обозначим $N(a, b)$ количество способов дойти из числа $a$ в число $b$. 1. Находим $N(3, 11)$: - 3 → 4: (3+1=4) - 4 → 5: (4+1=5) - 5 → 6: (5+1=6) - 6 → 7: (6+1=7) - 7 → 8: (7+1=8) - 8 → 9: (8+1=9) - 9 → 10: (9+1=10) - 10 → 11: (10+1=11) Также можно использовать умножение: 3*3=9, 9+1=10, 10+1=11 (способ 2); 3*3=9, 9+1=10... Перебор путей от 3 до 11: 1) 3+1+1+1+1+1+1+1+1 = 11 (8 команд "+1") 2) 3*3=9, 9+1=10, 10+1=11 Итого: 2 способа. 2. Находим $N(11, 51)$: - 11 → 12 → 13 → 14 → 15 → 16 → 17 (через +1) - 11 → 12 → 36 → 37... - 11 → 12 → 13 → 14 → 15 → 45 → 46 → 47 → 48 → 49 → 50 → 51 - 11 → 12 → 13 → 14 → 15 → 16 → 48 → 49 → 50 → 51 - 11 → 12 → 13 → 39 → 40 → 41 → 42 → 43 → 44 → 45 → 46 → 47 → 48 → 49 → 50 → 51 - 11 → 33 → 34 → 35 → 36 → 37 → 38 → 39 → 40 → 41 → 42 → 43 → 44 → 45 → 46 → 47 → 48 → 49 → 50 → 51 - 11 → 33 → 34 → 35 → 36 → 37 → 38 → 39 → 40 → 41 → 42 → 43 → 44 → 45 → 46 → 47 → 48 → 49 → 50 → 51 (через *3) В подобных задачах удобно строить дерево или таблицу: - Из 11 можно попасть в 12 (+1) или 33 (*3). - Из 12: 13, 36. - Из 33: 34, 99 (слишком много). Продолжая расчеты, получаем 4 варианта для пути 11-51. Итоговое количество программ: $2 \times 4 = 8$. **Ответ: 8**