Задача 2 и 3 (по готовым рисункам)

Для решения задач на нахождение площади фигуры, ограниченной графиком функции, воспользуемся определенным интегралом. ### а) Площадь фигуры, ограниченной $y = -x^2 + 4x$, осью $Ox$ и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=3$ Площадь $S$ вычисляется как интеграл: $S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x) dx$ Найдем первообразную: $S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{3}$ Подставим пределы интегрирования: $S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 \right) - (0) = -9 + 18 = 9$ **Ответ: 9** ### б) Площадь фигуры, ограниченной $y = \sin x$, осью $Oy$ (x=0) и вертикальной прямой $x=\frac{\pi}{4}$ Площадь $S$ вычисляется как интеграл: $S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x dx$ Найдем первообразную: $S = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$ Подставим пределы интегрирования: $S = -\cos(\frac{\pi}{4}) - (-\cos(0)) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.293$ **Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$**