Последовательность задана формулой an = 2^n + 2n - 3. Найдите первый, пятый и десятый члены этой последовательности.

1. Формула: $a_n = 2^n + 2n - 3$ - $a_1 = 2^1 + 2(1) - 3 = 2 + 2 - 3 = 1$ - $a_5 = 2^5 + 2(5) - 3 = 32 + 10 - 3 = 39$ - $a_{10} = 2^{10} + 2(10) - 3 = 1024 + 20 - 3 = 1041$ 2. Арифметическая прогрессия: $a_1 = 1.4, d = -0.2$ - $a_1 = 1.4$ - $a_2 = 1.4 - 0.2 = 1.2$ - $a_3 = 1.2 - 0.2 = 1.0$ - $a_4 = 1.0 - 0.2 = 0.8$ - $a_5 = 0.8 - 0.2 = 0.6$ 3. Арифметическая прогрессия: $b_1 = 10, d = 1.5, b_n = 24.5$ - Формула: $b_n = b_1 + (n-1)d$ - $24.5 = 10 + (n-1)1.5$ - $14.5 = (n-1)1.5$ - $n - 1 = 14.5 / 1.5 \approx 9.67$ - Так как $n$ должно быть натуральным числом, в данной прогрессии нет члена, равного 24.5. 4. Задача: $a_1 = 150, d = 50, n = 10$ - Формула суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ - $S_{10} = \frac{2(150) + 9(50)}{2} \cdot 10 = (300 + 450) \cdot 5 = 750 \cdot 5 = 3750$ - **Ответ: 3750 рублей.** 5. Геометрическая прогрессия: 729, 243, ... - $b_1 = 729, b_2 = 243 \Rightarrow q = \frac{243}{729} = \frac{1}{3}$ - $b_5 = b_1 \cdot q^4 = 729 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 729 / 81 = 9$ - $b_{10} = b_1 \cdot q^9 = 729 \cdot (\frac{1}{3})^9 = 3^6 \cdot 3^{-9} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$ 6. Геометрическая прогрессия: $b_2 + b_3 = 30, b_4 - b_2 = 90$ - $b_1q + b_1q^2 = 30 \Rightarrow b_1q(1 + q) = 30$ - $b_1q^3 - b_1q = 90 \Rightarrow b_1q(q^2 - 1) = 90$ - Разделим второе на первое: $\frac{q^2-1}{q+1} = \frac{90}{30} \Rightarrow q - 1 = 3 \Rightarrow q = 4$ - Подставим $q$ в первое уравнение: $b_1(4)(1+4) = 30 \Rightarrow 20b_1 = 30 \Rightarrow b_1 = 1.5$ - $S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5-1}{q-1} = 1.5 \cdot \frac{4^5-1}{4-1} = 1.5 \cdot \frac{1023}{3} = 1.5 \cdot 341 = 511.5$ - **Ответ: 511.5.**