Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при основании равен 82°, то второй угол при основании тоже равен 82°. Сумма углов треугольника составляет 180°. Значит, угол при вершине равен 180° - (82° + 82°) = 180° - 164° = 16°. Ответ: 16°. 2. На рисунке 59 прямые пересекаются. Угол BMF и угол, равный 65° (вертикальный с ним), образуют пару смежных углов с прямыми, или можно заметить, что это угол при пересечении. Однако, если посмотреть на прямые: прямые пересекаются. Сумма смежных углов равна 180°. Угол BMF смежен с углом, который накрест лежащий или просто смежный. Посмотрим на прямую, проходящую через B и M. Угол, смежный с 65°, равен 180° - 65° = 115°. Ответ: 115°. 3. На рисунке 60 рассмотрим треугольник, образованный пересечением. Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике с углами 32° и 45° (внешний угол при вершине E равен сумме внутренних: 32 + угол A = 45 -> угол A = 13°). В треугольнике с углом 54° при вершине O, мы можем найти угол B. Сумма углов большого треугольника: Угол A + Угол B + Угол O = 180°. 32° + Угол B + 54° = 180° (здесь 32 - это часть угла, нужно быть внимательнее). Используя свойства внешних углов: Угол E = 180° - 45° = 135°. В треугольнике EOF: 180° - 135° - 54° = -1° (некорректно). Давайте по-другому: рассмотрим треугольник AEO. Угол AEO = 180° - 45° = 135°. Тогда в треугольнике AEO угол A = 180° - 135° - 54° = -9° (опечатка в условии или рисунке?). Вероятно, 45° — это внешний угол. Если 45° — внешний, то сумма внутренних 32 + 54 = 86°. Тогда угол B = 180° - 86° = 94°. Ответ: 94°. 4. Дано: AN = FM, AN || FM. Нужно доказать: ∠AFN = ∠MNF. Рассмотрим треугольники AFN и MNF. У них сторона FN общая, AN = FM (по условию), ∠ANF = ∠MFN (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AN и FM и секущей FN). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: ∠AFN = ∠MNF. Что и требовалось доказать. 5. В треугольнике ABC: ∠B = 90°, ∠ACB = 60°. Значит, ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°. CD — биссектриса, значит, она делит ∠C пополам. ∠ACD = ∠BCD = 60° / 2 = 30°. В треугольнике ADC: ∠A = 30°, ∠ACD = 30°. Значит, треугольник ADC — равнобедренный (AD = CD). Также в треугольнике DBC: ∠BCD = 30°, ∠B = 90°, следовательно, ∠BDC = 180° - 90° - 30° = 60°. По определению синуса в треугольнике DBC: sin(60°) = BD / CD. CD = BD / sin(60°) = 5 / (√3/2) = 10/√3 = 10√3/3. Так как CD = AD, то AD = 10√3/3. AB = AD + BD = 10√3/3 + 5 = (10√3 + 15)/3 ≈ 10.77 см. Ответ: (10√3 + 15)/3 см.