26. В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 18°. Найдите градусную меру угла APC.

### Решение задачи №26 Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC$. Точка $P$ на $AB$, $\angle ACP = 18^\circ$. Найти $\angle APC$. 1. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный и равнобедренный ($AC=BC$), то углы при основании равны: $\angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. 2. Рассмотрим $\triangle ACP$. Мы знаем $\angle A = 45^\circ$ и $\angle ACP = 18^\circ$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда $\angle APC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACP) = 180^\circ - (45^\circ + 18^\circ) = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$. **Ответ: 117^\circ.** ### Решение задачи №27 Дано: $\triangle ABC$, $AC = BC$. $CM$ — биссектриса внешнего угла $BCD$, $\angle MCD = 54^\circ$. Найти $\angle BAC$. 1. Так как $CM$ — биссектриса угла $BCD$, то $\angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$. 2. Угол $BCD$ — внешний при вершине $C$. Угол $ACB$ и внешний угол $BCD$ смежные, их сумма $180^\circ$. Значит, $\angle ACB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. 3. В $\triangle ABC$ стороны $AC = BC$, значит треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle A = \angle B = (180^\circ - \angle ACB) / 2 = (180^\circ - 72^\circ) / 2 = 108^\circ / 2 = 54^\circ$. **Ответ: 54.** ### Решение задачи №28 Дано: $\triangle ABC$, $\angle BAC = 38^\circ$, $AC = CB$. Найти внешний угол при вершине $C$. 1. В $\triangle ABC$ стороны $AC = CB$. Это значит, что углы при основании $AB$ равны: $\angle B = \angle A = 38^\circ$. 2. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Тогда $\angle ACB = 180^\circ - (38^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$. 3. Внешний угол при вершине $C$ смежен с углом $ACB$. Его величина: $180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. **Ответ: 76^\circ.** ### Решение задачи №29 Дано: $\triangle ABC$, $AB = BC$, $AH$ — высота, $\angle BCA = 35^\circ$. Найти $\angle BAH$. 1. Так как $AB = BC$, $\triangle ABC$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$. 2. Угол при вершине $B$: $\angle ABC = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. 3. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $H = 90^\circ$, $\angle B = 110^\circ$. Это невозможно, так как сумма углов треугольника $180^\circ$. Посмотрим на чертеж: $H$ лежит на продолжении $CB$, значит $\triangle ABH$ — прямоугольный, а угол $ABH$ является смежным с углом $ABC$. $\angle ABH = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 4. В $\triangle ABH$: $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. **Ответ: 20.**