1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 37 градусов больше другого.

1. Пусть меньший угол равен $x$. Тогда второй острый угол равен $x + 37^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, составим уравнение: $x + (x + 37^\circ) = 90^\circ$ $2x = 53^\circ$ $x = 26,5^\circ$ (первый угол). Второй угол: $26,5^\circ + 37^\circ = 63,5^\circ$. **Ответ: 26,5° и 63,5°.** 2. Сумма внутреннего угла и смежного с ним внешнего угла равна $180^\circ$. Значит, внутренний угол при вершине $B$: $\angle B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $AC = 5$ см лежит против угла $30^\circ$, значит, гипотенуза $AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 5 = 10$ см. **Ответ: 10 см.** 3. В треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\angle B = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$. $CH$ — высота, значит $\triangle AHC$ — прямоугольный, $\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$. $CK$ — биссектриса, значит $\angle ACK = 45^\circ$ (так как $\angle C = 90^\circ$). Угол между высотой и биссектрисой $\angle HCK = \angle ACK - \angle ACH = 45^\circ - 27^\circ = 18^\circ$. **Ответ: 18°.** 4. Пусть гипотенуза $c = x$, меньший катет $a = 42 - x$. Угол $30^\circ$ лежит против меньшего катета. По свойству угла $30^\circ$: $a = \frac{c}{2}$. $42 - x = \frac{x}{2}$ $84 - 2x = x$ $3x = 84$ $x = 28$ (гипотенуза). Меньший катет: $42 - 28 = 14$. **Ответ: гипотенуза 28 см, меньший катет 14 см.** 5. $BC \parallel AD$. Углы $\angle B$ и $\angle D$ равны $90^\circ$. Четырехугольник $ABCD$ — прямоугольник, так как стороны параллельны и углы прямые. В прямоугольнике противолежащие стороны равны: $AB = CD$. Так как $CD = 6$ см, то $AB = 6$ см. **Ответ: 6 см.**