Внешние углы треугольника ABC при вершинах A и C равны 78° и 150° соответственно. Найдите градусную меру угла ABC.

### Решение заданий **1. Внешние углы треугольника** Внешний угол при вершине $A$ равен $78^\circ$, значит внутренний угол $A = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$, значит внутренний угол $C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $ABC$: $\angle ABC = 180^\circ - (102^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$. **Ответ: 48** **2. Верные утверждения** - **В прямоугольном треугольнике любой внешний угол больше $88^\circ$**: Верно (внешние углы равны $90^\circ$ или $180^\circ - \text{острый угол} > 90^\circ$). - **Треугольник, в котором высота является его биссектрисой, является равнобедренным**: Верно (признак равнобедренного треугольника). - **Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого, то эти треугольники всегда равны**: Верно (признак равенства по стороне и двум прилежащим углам). *Утверждение про параллельность неверно, так как прямые параллельные одной прямой, параллельны и друг другу.* **3. Треугольник ABC и медиана** В равнобедренном треугольнике ($\angle B = 120^\circ$, $AB=BC$) медиана $BM$ также является высотой. В $\triangle ABM$: $\angle M = 90^\circ$, $\angle ABM = 60^\circ$, $\angle BAM = 30^\circ$. Пусть сторона $AB = a$. Тогда $BM = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$. По условию $F$ лежит на луче $BM$ и $\angle BAF = 90^\circ$. Из $\triangle ABF$ (где $\angle ABF=60^\circ, \angle BAF=90^\circ$), получаем $\angle BFA = 30^\circ$. Тогда $BF = AB / \cos(60^\circ) = 2a$. В координатах или через подобие находим, что $BM = 135$, а $FM = 45$. Итого $BF = BM + FM = 135 + 45 = 180$. **Ответ: 180** **4. Угол треугольника** Угол между биссектрисой угла $A$ и биссектрисой внешнего угла $C$ равен половине угла $B$. $54^\circ = \angle B / 2 \Rightarrow \angle B = 108^\circ$. **Ответ: 108** **5. Наклейки** Пусть у Маши $M$ наклеек. - Яна: $Ya = M - 5$ - Рита: $R = M - 15$ - Аня: так как $Ya = A - 10$, то $A = Ya + 10 = (M - 5) + 10 = M + 5$. Верные утверждения: - У Ани на 20 наклеек больше, чем у Риты ($M+5 - (M-15) = 20$). - У Риты наклеек меньше, чем у Яны.