Касательная к окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, пересекает его катеты и отсекает от него меньший треугольник. Найдите периметр отсечённого треугольника, если катеты исходного треугольника равны 6 и 8.

Давай решим эту геометрическую задачу шаг за шагом. ### Дано: 1. Прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = 8$ и $BC = 6$. 2. В треугольник вписана окружность. 3. Прямая, касательная к окружности, отсекает от исходного треугольника меньший треугольник. ### Решение: 1. **Найдем гипотенузу $AB$ исходного треугольника:** По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. $AB = \sqrt{100} = 10$. 2. **Найдем радиус вписанной окружности ($r$):** Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$. 3. **Периметр отсеченного треугольника:** Существует важное свойство: периметр треугольника, отсеченного касательной от прямоугольного треугольника, равен $2r$, где $r$ — радиус вписанной окружности исходного треугольника. Почему так? Отрезки касательных, проведенных к одной окружности из одной точки, равны. Если обозначить вершины отсеченного треугольника, можно доказать, что его периметр равен сумме отрезков касательных из вершин исходного треугольника до точек касания. Периметр $P = 2 \times r = 2 \times 2 = 4$. **Ответ:** Периметр отсеченного треугольника равен 4.