Докажите тождество (a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) = (ac + bd)(ad + bc).

Чтобы доказать тождество, раскроем скобки в левой части уравнения и упростим выражение. Левая часть: $(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)$ 1. Раскроем первые скобки $(a^2 + b^2)(ab + cd)$: $a^2 \cdot ab + a^2 \cdot cd + b^2 \cdot ab + b^2 \cdot cd = a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd$ 2. Раскроем вторые скобки $-ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)$: $-a^3b - ab^3 + abc^2 + abd^2$ 3. Сложим полученные результаты: $(a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd) - a^3b - ab^3 + abc^2 + abd^2$ 4. Приведем подобные слагаемые ($a^3b$ и $-a^3b$, $ab^3$ и $-ab^3$ сокращаются): $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$ 5. Сгруппируем слагаемые для вынесения общих множителей: $(a^2cd + abd^2) + (b^2cd + abc^2) = ad(acd + bd^2) + bc(bd + ac)$ — не совсем удобно. Попробуем иначе: $acd(a + b \dots)$ — тоже не то. Вернемся к выражению: $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 = cd(a^2 + b^2) + ab(c^2 + d^2)$ Перепишем правую часть: $(ac + bd)(ad + bc) = ac \cdot ad + ac \cdot bc + bd \cdot ad + bd \cdot bc$ $= a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$ Сравнив результат преобразования левой части ($a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$) и результат раскрытия правой части ($a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$), видим, что они тождественны. **Ответ: Тождество доказано.**