8. В треугольнике ABC углы A и C равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Привет! Давай разберем эти геометрические задачи. ### Задача 8 В треугольнике $ABC$: $\angle A = 40^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ$. 1. Биссектриса $BD$ делит угол $B$ пополам: $\angle ABD = \angle B / 2 = 80^\circ / 2 = 40^\circ$. 2. Высота $BH$ в прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$): $\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. 3. Угол между ними: $\angle DBH = |\angle ABH - \angle ABD| = |50^\circ - 40^\circ| = 10^\circ$. **Ответ: 10°** ### Задача 10 Диаметры $AB$ и $CD$ пересекаются в центре $O$. Углы $AOC$ и $BOD$ — вертикальные, значит $\angle AOC = \angle BOD = 150^\circ$. Треугольник $AOD$ равнобедренный ($OA=OD$ как радиусы). Угол $AOD$ смежен с $\angle AOC$: $\angle AOD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В треугольнике $AOD$ углы при основании $AD$ равны: $\angle ADO = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$. **Ответ: 75°** ### Задача 11 Пусть внешняя биссектриса при вершине $B$ — это $BK$, она параллельна $AC$. $\angle ABC = 36^\circ$. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$. Биссектриса делит его на два угла по $144^\circ / 2 = 72^\circ$. Так как $BK \parallel AC$, то накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = 72^\circ$. Теперь найдем $\angle CAB$: $180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ$. **Ответ: 72°** ### Задача 12 В $\triangle ABC$: $\angle C = 48^\circ$. $AD$ — биссектриса $\angle A$, значит $\angle CAD = \angle DAB = 22^\circ$. Весь угол $A = 22^\circ + 22^\circ = 44^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Угол $ABC = 180^\circ - (44^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$. **Ответ: 88°**