18. Тип 17 № 9294 В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $x$ — количество мышек, пришедших в первую ночь. 1. В первую ночь 9 головок сыра съели $x$ мышек, значит, каждая мышка съела $\frac{9}{x}$ головок сыра. 2. Во вторую ночь пришли 7 мышек. По условию, каждая из них съела в 3 раза меньше, чем накануне: $\text{Съела одна мышка во 2-ю ночь} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{x} = \frac{3}{x}$. 3. Всего во вторую ночь 7 мышек съели остаток сыра. Пусть этот остаток равен $y$ головок. Тогда: $7 \cdot \frac{3}{x} = y \implies y = \frac{21}{x}$. Так как количество мышек $x$ должно быть целым числом, а количество головок сыра (9 и $y$) — рациональными числами, то $x$ должно быть делителем числа 21. Также из первой ночи мы знаем, что $x$ должно быть делителем 9 (или, по крайней мере, чтобы задача имела смысл, количество съеденного одной мышкой — положительное число). Однако, если рассуждать логически: мышек в первую ночь было больше 7, так как во вторую пришли "не все, а только 7". Значит, $x > 7$. Единственный делитель числа 21, который больше 7, — это 21. Однако, если $x=21$, то 21 мышка ела 9 головок, что дает меньше 1 головки на мышь. Это возможно. Проверим: - Если $x = 21$, то в первую ночь 21 мышь съела 9 головок. Каждая съела $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ головки. - Во вторую ночь каждая из 7 мышей съела в 3 раза меньше: $\frac{3}{7} : 3 = \frac{1}{7}$ головки. - Всего во вторую ночь 7 мышей съели $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$ головку. - Итого сыра было: $9 + 1 = 10$. Ответ: 10 головок сыра.