Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

Привет! Давай решим задачи по геометрии из твоего варианта. 1. В прямоугольном треугольнике катет $a = 6$, гипотенуза $c = 10$. По теореме Пифагора найдем второй катет $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Площадь прямоугольного треугольника $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$. **Ответ: 24.** 2. Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $b = 45$ и основанием $a = 54$. Проведем высоту $h$ к основанию. Она делит основание пополам, значит, получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой $45$ и катетом $\frac{54}{2} = 27$. Высота $h = \sqrt{45^2 - 27^2} = \sqrt{(45-27)(45+27)} = \sqrt{18 \cdot 72} = \sqrt{1296} = 36$. Площадь $S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 36 = 27 \cdot 36 = 972$. **Ответ: 972.** 3. Периметр $P = 324$, боковая сторона $b = 82$. Основание $a = P - 2b = 324 - 2 \cdot 82 = 324 - 164 = 160$. Высота $h$ к основанию: $h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{82^2 - 80^2} = \sqrt{(82-80)(82+80)} = \sqrt{2 \cdot 162} = \sqrt{324} = 18$. Площадь $S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 160 \cdot 18 = 80 \cdot 18 = 1440$. **Ответ: 1440.** 4. Периметр $P = 200$, основание $a = 96$. Боковая сторона $b = \frac{P - a}{2} = \frac{200 - 96}{2} = \frac{104}{2} = 52$. Высота $h = \sqrt{52^2 - 48^2} = \sqrt{(52-48)(52+48)} = \sqrt{4 \cdot 100} = \sqrt{400} = 20$. Площадь $S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 20 = 48 \cdot 20 = 960$. **Ответ: 960.** 5. В прямоугольнике сторона $a = 39$, диагональ $d = 89$. Вторая сторона $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{89^2 - 39^2} = \sqrt{(89-39)(89+39)} = \sqrt{50 \cdot 128} = \sqrt{6400} = 80$. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b = 39 \cdot 80 = 3120$. **Ответ: 3120.** 6. Ромб со стороной $a = 17$ и диагональю $d_1 = 16$. Вторая диагональ $d_2$ делит ромб на 4 прямоугольных треугольника с гипотенузой $17$ и катетом $\frac{d_1}{2} = 8$. Половина второй диагонали $x = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. Значит, $d_2 = 15 \cdot 2 = 30$. Площадь ромба $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240$. **Ответ: 240.**