Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

### Доказательство задачи 785 **Дано:** $ABCD$ — параллелограмм. В $ABCD$ вписана окружность. **Доказать:** $ABCD$ — ромб. **Доказательство:** 1. Пусть стороны параллелограмма $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ касаются вписанной окружности в точках $M$, $N$, $P$, $K$ соответственно. 2. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: $AM = AK$ $BM = BN$ $CN = CP$ $DP = DK$ 3. Обозначим длины этих отрезков через $a, b, c, d$ соответственно: $AM = AK = a$ $BN = BM = b$ $CP = CN = c$ $DP = DK = d$ 4. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны: $AB = CD \Rightarrow a + b = c + d$ $BC = AD \Rightarrow b + c = a + d$ 5. Сложим эти два равенства: $(a + b) + (b + c) = (c + d) + (a + d)$ $a + 2b + c = a + 2d + c$ $2b = 2d \Rightarrow b = d$ 6. Из уравнения $b + c = a + d$ подставим $b = d$: $d + c = a + d \Rightarrow c = a$ 7. Значит, $a = b = c = d$. Следовательно, все отрезки касательных равны. 8. Стороны параллелограмма равны: $AB = a + b$ $BC = b + c = b + a = AB$ 9. Так как соседние стороны параллелограмма равны ($AB = BC$), то $ABCD$ является ромбом. **Что и требовалось доказать.**