Вписанная окружность треугольника касается одной его стороны в её середине. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$, в который вписана окружность. Обозначим точки касания этой окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ как $K$, $M$ и $L$ соответственно. По условию $M$ — середина стороны $BC$, значит, $BM = MC$. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: $BK = BM$ $MC = LC$ $AK = AL$ Так как по условию $M$ — середина стороны $BC$, то $BM = MC$. Из равенств выше следует, что $BK = LC$. Периметр треугольника равен сумме сторон: $P = AB + BC + AC$. Заметим, что: $AB = AK + BK = AK + BM$ $AC = AL + LC = AL + MC$ $BC = BM + MC$ Так как $BM = MC$, подставим это в выражения для сторон: $AB = AK + BM$ $AC = AL + BM$ Сложим стороны $AB$ и $AC$: $AB + AC = AK + BM + AL + BM = AK + AL + 2BM$ Так как $AK = AL$ (отрезки касательных из вершины $A$), то: $AB + AC = 2AK + 2BM = 2(AK + BM) = 2AB$ (это не дает прямого доказательства, пойдем иначе). Используем формулы длин отрезков касательных: $BM = p - AC$, где $p$ — полупериметр. $MC = p - AB$. Так как $BM = MC$, то $p - AC = p - AB$, откуда $AC = AB$. Следовательно, стороны $AB$ и $AC$ равны, что и требовалось доказать: треугольник $ABC$ — равнобедренный.