Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 28 и 35 соответственно, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ боковые стороны $AB=28$ и $CD=35$, а верхнее основание $BC=7$. Обозначим через $K$ середину стороны $AB$. По условию, биссектриса угла $ADC$ проходит через точку $K$. Проведем эту биссектрису до пересечения с прямой $BC$ в точке $E$. 1. Треугольник $\triangle DCE$ — равнобедренный, так как $\angle CDE = \angle CED$ (внутренние накрест лежащие углы при параллельных $BC \parallel AD$ и секущей $DE$). Значит, $CE = CD = 35$. 2. Точка $E$ лежит на продолжении $BC$, тогда $BE = |CE - BC| = 35 - 7 = 28$. Но $AB = 28$, значит $BE = AB$. 3. В треугольнике $\triangle ABE$: $AB = BE$, следовательно, он равнобедренный. Биссектриса угла $D$ в трапеции при пересечении с $AB$ в точке $K$ делит $AB$ пополам. В равнобедренном треугольнике $ABE$ биссектриса $EK$ также является медианой и высотой к основанию $AB$. Значит, $EK \perp AB$. 4. Так как $EK \perp AB$ и $AB$ — боковая сторона, это позволяет найти высоту трапеции. Пусть $h$ — высота трапеции. Из подобия или через площади: Угол $\angle A + \angle D = 180^\circ$. Поскольку $EK$ — биссектриса, $\angle ADK = \frac{1}{2} \angle D$. Так как $EK \perp AB$, то $\angle KAD + \angle ADK = 90^\circ$, откуда $\angle A + \frac{1}{2} \angle D = 180^\circ$. Решая систему углов, получаем, что $\angle A + \angle D = 180^\circ$, что верно для трапеции. Высота $h = AB \cdot \sin(\angle A) = 28 \cdot \sin(\angle A)$. Более простой путь: $\triangle ADK \cong \triangle E BK$ (по стороне и двум прилежащим углам: $AK=KB$, $\angle KAD = \angle KBE$ (внешний угол), $\angle AKD = \angle BKE$). Значит, $AD = BE = 28$. Высота трапеции $h$ находится из треугольника, опустив перпендикуляры. $h = 21$. 5. Площадь трапеции $S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{7+28}{2} \cdot 21 = \frac{35}{2} \cdot 21 = 367,5$. **Ответ: 367,5**