а) f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 7 найти промежутки монотонности.

Привет! Давай разберем твои задания на исследование функций на монотонность. Для этого нужно найти производную $f'(x)$, приравнять её к нулю (найти критические точки) и определить знаки производной на интервалах. ### а) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 7$ 1. Найдем производную: $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x$. 2. Приравняем к нулю: $12x(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow 12x(x-2)(x+1) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 2$. 3. Определим знаки на интервалах: - $(-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). - $(-1; 0)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). - $(0; 2)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). - $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** Возрастает на $[-1; 0]$ и $[2; +\infty)$; убывает на $(-\infty; -1]$ и $[0; 2]$. ### б) $f(x) = \cos 2x - 2\sqrt{x} + \frac{\pi}{4}$ 1. Область определения: $x \ge 0$. 2. Производная: $f'(x) = -2\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$. 3. Анализ знака: - При $x > 0$: $\frac{1}{\sqrt{x}} > 0$, поэтому $-\frac{1}{\sqrt{x}} < 0$. - Значение $-2\sin 2x$ колеблется от $-2$ до $2$. - При малых $x$ значение $-\frac{1}{\sqrt{x}}$ очень велико по модулю и отрицательно, что "перевешивает" $-2\sin 2x$. Функция убывает. ### в) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$ 1. Область определения: $x \ne -4$. 2. Производная (по правилу частного): $f'(x) = \frac{(2x+3)(x+4) - (x^2+3x)(1)}{(x+4)^2} = \frac{2x^2 + 8x + 3x + 12 - x^2 - 3x}{(x+4)^2} = \frac{x^2 + 8x + 12}{(x+4)^2}$. 3. Найдем нули производной: $x^2 + 8x + 12 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+6) = 0$. Точки $x = -6, x = -2$. 4. Определим знаки: - $(-\infty; -6)$: $f'(x) > 0$ (возрастает). - $(-6; -4)$: $f'(x) < 0$ (убывает). - $(-4; -2)$: $f'(x) < 0$ (убывает). - $(-2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (возрастает). **Ответ:** Возрастает на $(-\infty; -6]$ и $[-2; +\infty)$; убывает на $[-6; -4)$ и $(-4; -2]$.