Плоскость, проходящая через точки А, В и С, разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получающегося многогранника с большим числом граней?

### Задача 11 Плоскость проходит через точки A, B и C, которые являются вершинами куба. Эта плоскость «отсекает» от куба тетраэдр (пирамиду) с вершиной B. 1. **Многогранники:** После разрезания образуются два многогранника: * Первый — тетраэдр (у него 4 грани и 4 вершины: B, A, C и вершина, лежащая на ребре куба). Но здесь плоскость проходит через A, B, C, которые принадлежат одной грани куба, если это треугольник на грани, но по чертежу видно, что плоскость отсекает угол куба. Вернее, плоскость проходит через вершины куба так, что отрезает один «уголок». У тетраэдра 4 вершины. * Второй — оставшаяся часть куба. У куба 8 вершин. Плоскость «забирает» 3 вершины (A, B, C), но создает новые, либо оставляет старые. Фактически, усеченный куб будет иметь 7 вершин (3 старых, которые были отрезаны, заменяются точками плоскости, но здесь плоскость проходит через сами вершины, поэтому отрезается треугольная пирамида). Второй многогранник — это «куб с отрезанным углом». Количество вершин у него будет: 8 (исходных) - 3 (отрезанных) + 3 (новых вершин сечения, совпадающих со старыми A, B, C) = 7 вершин. Количество граней у исходного куба — 6. После сечения у большого многогранника добавляется 1 новая грань (треугольник сечения), итого 7 граней. У малого (тетраэдра) — 4 грани. Большее число граней — у того, что остался от куба (7 граней). Количество вершин у него — 7. **Ответ: 7** ### Задача 12 Дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC = 52$ (боковые стороны). $\sin A = \frac{5}{13}$. 1. Нам нужно найти площадь. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\sin A = \frac{BH}{AB}$. 3. $BH = AB \cdot \sin A = 52 \cdot \frac{5}{13} = 4 \cdot 5 = 20$. 4. Найдем $AH$ по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{52^2 - 20^2} = \sqrt{(52-20)(52+20)} = \sqrt{32 \cdot 72} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot 36 \cdot 2} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$. 5. Основание $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 48 = 96$. 6. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 20 = 48 \cdot 20 = 960$. **Ответ: 960** ### Задача 13 Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания, $L$ — образующая. 1. Для первого конуса: $R_1 = 3$, $L_1 = 6$. $S_1 = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi$. 2. Для второго конуса: $R_2 = 4$, $L_2 = 9$. $S_2 = \pi \cdot 4 \cdot 9 = 36\pi$. 3. Во сколько раз $S_2$ больше $S_1$: $\frac{36\pi}{18\pi} = 2$. **Ответ: 2**