К-4 II вариант 1. Дана арифметическая прогрессия -6; -3; ...

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по прогрессиям. ### 1. Арифметическая прогрессия: -6; -3; ... * $a_1 = -6$, разность $d = -3 - (-6) = 3$. а) $a_{14} = a_1 + 13d = -6 + 13 \cdot 3 = -6 + 39 = 33$. б) Сумма первых 17 членов: $S_{17} = \frac{2a_1 + (17-1)d}{2} \cdot 17 = \frac{2(-6) + 16 \cdot 3}{2} \cdot 17 = (-6 + 24) \cdot 17 = 18 \cdot 17 = 306$. ### 2. $a_n = 9 + 2n$. Найти $S_{25}$. * Это арифметическая прогрессия, где $d = 2$. * $a_1 = 9 + 2 \cdot 1 = 11$. * $a_{25} = 9 + 2 \cdot 25 = 59$. * $S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{11 + 59}{2} \cdot 25 = 35 \cdot 25 = 875$. ### 3. $a_1 = 2,8; a_6 = 4,37$. Является ли 21,4 членом прогрессии? * $a_6 = a_1 + 5d \Rightarrow 4,37 = 2,8 + 5d \Rightarrow 5d = 1,57 \Rightarrow d = 0,314$. * $a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 21,4 = 2,8 + (n-1)0,314$. * $18,6 = (n-1)0,314 \Rightarrow n-1 = 18,6 / 0,314 \approx 59,23$. * Так как $n$ не является целым числом, число 21,4 **не является** членом этой прогрессии. ### 4. Геометрическая прогрессия: $b_1 = -27, q = 1/3$. а) $b_6 = b_1 \cdot q^5 = -27 \cdot (1/3)^5 = -27 \cdot (1/243) = -1/9$. б) $S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{-27(1 - 1/243)}{1 - 1/3} = \frac{-27 \cdot (242/243)}{2/3} = -\frac{242}{9} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{121}{3} = -40 \frac{1}{3}$. ### 5. $a_2 = 8, a_4 = 72$. Найти $S_5$. * $a_2 = b_1 \cdot q = 8$, $a_4 = b_1 \cdot q^3 = 72$. * $q^2 = 72 / 8 = 9 \Rightarrow q = 3$ (так как члены положительные, $q>0$). * $b_1 = 8/3$. * $S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q-1} = \frac{(8/3)(3^5 - 1)}{3-1} = \frac{8/3 \cdot 242}{2} = 4/3 \cdot 242 = 968/3 = 322 \frac{2}{3}$. ### 6. $a_{10} = 27, a_{12} = 108$. Найти $a_{11}$. * $a_{12} = a_{10} \cdot q^2 \Rightarrow 108 = 27 \cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 4 \Rightarrow q = 2$ или $q = -2$. * $a_{11} = a_{10} \cdot q = 27 \cdot 2 = 54$ или $a_{11} = 27 \cdot (-2) = -54$. * **Ответ:** 54 или -54.