Решите тригонометрические уравнения: 1. 10cos^2 x - 17cos x + 6 = 0

Привет! Давай разберем эти тригонометрические уравнения. Они все сводятся к квадратным или однородным уравнениям. ### 1. $10\cos^2 x - 17\cos x + 6 = 0$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. $10t^2 - 17t + 6 = 0$ Дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 289 - 240 = 49 = 7^2$. $t_1 = \frac{17 - 7}{20} = \frac{10}{20} = 0.5$; $t_2 = \frac{17 + 7}{20} = \frac{24}{20} = 1.2$ (не подходит, так как $1.2 > 1$). $\cos x = 0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 2. $2\cos^2 x + 5\sin x + 5 = 0$ Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x + 5 = 0 \Rightarrow -2\sin^2 x + 5\sin x + 7 = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x - 5\sin x - 7 = 0$. Пусть $t = \sin x$ ($|t| \le 1$). $2t^2 - 5t - 7 = 0$. $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. $t_1 = \frac{5 - 9}{4} = -1$; $t_2 = \frac{5 + 9}{4} = 3.5$ (не подходит). $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 3. $6\sin^2 x + 13\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$ Разделим на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \neq 0$): $6\text{tg}^2 x + 13\text{tg} x + 2 = 0$. Пусть $t = \text{tg} x$. $6t^2 + 13t + 2 = 0$. $D = 169 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 = 11^2$. $t_1 = \frac{-13 - 11}{12} = -2$; $t_2 = \frac{-13 + 11}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$. $x = \text{arctg}(-2) + \pi n = -\text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \text{arctg}(-1/6) + \pi k = -\text{arctg}(1/6) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 4. $5\text{tg} x - 4\text{ctg} x + 8 = 0$ Заменим $\text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x}$: $5\text{tg} x - \frac{4}{\text{tg} x} + 8 = 0$. Умножим на $\text{tg} x$ (при условии $\text{tg} x \neq 0$): $5\text{tg}^2 x + 8\text{tg} x - 4 = 0$. Пусть $t = \text{tg} x$. $5t^2 + 8t - 4 = 0$. $D = 64 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 = 12^2$. $t_1 = \frac{-8 - 12}{10} = -2$; $t_2 = \frac{-8 + 12}{10} = 0.4$. $x = -\text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \text{arctg } 0.4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 5. $6\cos^2 x + 13\sin 2x = -10$ Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$: $6\cos^2 x + 26\sin x \cos x = -10(\sin^2 x + \cos^2 x) \Rightarrow 10\sin^2 x + 26\sin x \cos x + 16\cos^2 x = 0$. Разделим на $\cos^2 x$: $10\text{tg}^2 x + 26\text{tg} x + 16 = 0 \Rightarrow 5\text{tg}^2 x + 13\text{tg} x + 8 = 0$. По теореме Виета $t_1 = -1$, $t_2 = -8/5 = -1.6$. $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg } 1.6 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 6. $2\sin^2 x + 6\sin 2x = 7(1 + \cos 2x)$ Используем формулы понижения степени и двойного угла: $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$. $(1 - \cos 2x) + 6\sin 2x = 7 + 7\cos 2x \Rightarrow 6\sin 2x - 8\cos 2x = 6 \Rightarrow 3\sin 2x - 4\cos 2x = 3$. Это уравнение вида $a\sin \alpha + b\cos \alpha = c$. Решаем методом вспомогательного угла, разделив на $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$: $\frac{3}{5}\sin 2x - \frac{4}{5}\cos 2x = \frac{3}{5}$. Пусть $\cos \phi = 3/5$, тогда $\sin \phi = 4/5$. $\sin(2x - \phi) = \sin \phi$, где $\phi = \text{arccos}(0.6)$. $2x - \phi = \phi + 2\pi n$ или $2x - \phi = \pi - \phi + 2\pi n$. $1) 2x = 2\phi + 2\pi n \Rightarrow x = \text{arccos}(0.6) + \pi n$. $2) 2x = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.