Question

Исходя из определения додекаэдра, данного в таблице правильных многогранников, вычислите число его вершин, граней и рёбер.

Accepted Answer

Додекаэдр — это один из пяти правильных многогранников (Платоновых тел), составленный из 12 равных правильных пятиугольников.

Вычислим его элементы:
1. Грани ($F$): По определению додекаэдра, у него 12 граней.
2. Рёбра ($E$): Каждая из 12 граней является пятиугольником, то есть имеет 5 рёбер. Умножаем количество граней на количество рёбер у каждой грани: $12 \cdot 5 = 60$. Так как каждое ребро является общим для двух граней, делим полученное число на 2: $60 / 2 = 30$. Итого 30 рёбер.
3. Вершины ($V$): В каждой вершине додекаэдра сходятся 3 грани (и, соответственно, 3 ребра). Умножаем количество граней на количество вершин у каждой грани: $12 \cdot 5 = 60$. Так как каждая вершина является общей для 3 граней, делим на 3: $60 / 3 = 20$. Итого 20 вершин.

Проверим по формуле Эйлера для многогранников ($V - E + F = 2$):
$20 - 30 + 12 = 2$
$2 = 2$ — верно.

Ответ: 12 граней, 30 рёбер, 20 вершин.

Исходя из определения додекаэдра, данного в таблице правильных многогранников, вычислите число его вершин, граней и рёбер.

Ответ ассистента

Другие решения