Задание 1. Перерисуйте данный граф в тетрадь. Определите: а) количество вершин; б) степень каждой вершины; в) сумму степеней всех вершин; г) количество ребер.

Привет! Давай разберем твое домашнее задание по теории графов. Это очень интересная и логичная тема. ### Задание 1 **а) Количество вершин:** В графе 8 вершин (A, B, C, D, E, F, G, H). **б) Степень каждой вершины (количество исходящих ребер, где петля учитывается как 2):** * Вершина A: 4 (петля — 2, плюс ребра AG и AE) * Вершина B: 2 (ребра BD и BG) * Вершина C: 2 (ребра CE и CH) * Вершина D: 3 (ребра DB, DF, DG) * Вершина E: 4 (петля — 2, плюс ребра EC и EA) * Вершина F: 1 (ребро FD) * Вершина G: 4 (ребра GA, GB, GD, GH) * Вершина H: 2 (ребра HC, HG) **в) Сумма степеней всех вершин:** $4 + 2 + 2 + 3 + 4 + 1 + 4 + 2 = 22$ **г) Количество ребер:** Если посчитать линии на графе, их 11. **Сравнение и вывод:** Сумма степеней ($22$) ровно в 2 раза больше, чем количество ребер ($11$). **Вывод:** Сумма степеней всех вершин любого графа всегда равна удвоенному количеству ребер (это называется "лемма о рукопожатиях"). ### Задание 2 Для построения графа с вершинами степенями 5, 1 и 4: 1. Сначала найдем сумму степеней: $5 + 1 + 4 = 10$. 2. Так как сумма степеней равна удвоенному числу ребер, то ребер будет $10 / 2 = 5$. 3. Пример: Нарисуй вершину A, вершину B и вершину C. Проведи 4 ребра между A и C (получится мультиграф) и 1 ребро между A и B. У вершины A получится степень 5, у C — 4, у B — 1. ### Задание 3 Используем правило, которое мы вывели в первом задании: число ребер равно сумме степеней вершин, деленной на 2. 1. Сумма степеней: $2 + 5 + 1 + 4 = 12$. 2. Количество ребер: $12 / 2 = 6$. **Ответ:** 6 ребер.