3. Найдите угол B, если AB = BC, AK = AC.

3. Найдите угол B, если AB = BC, AK = AC: а) В $\triangle AKC$ ($AK=AC$) углы при основании равны: $\angle ACK = \angle AKC = 67^{\circ}$. Тогда $\angle KAC = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 67^{\circ} = 46^{\circ}$. В $\triangle ABC$ ($AB=BC$) $\angle BAC = \angle BCA = 67^{\circ}$. $\angle B = 180^{\circ} - (67^{\circ} + 67^{\circ}) = 46^{\circ}$. б) В $\triangle AKC$ угол $\angle AKC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ (смежный). Так как $AK=AC$, то $\angle ACK = \angle AKC = 70^{\circ}$. Тогда $\angle BAC = \angle BCA = 70^{\circ}$. $\angle B = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 40^{\circ}$. в) В $\triangle AKC$ ($AK=AC$) угол при вершине $\angle KAC = 57^{\circ}$, значит углы при основании $\angle ACK = \angle AKC = (180^{\circ}-57^{\circ})/2 = 61,5^{\circ}$. В $\triangle ABC$ $\angle BAC = \angle BCA = 61,5^{\circ}$, тогда $\angle B = 180^{\circ} - (61,5^{\circ} + 61,5^{\circ}) = 57^{\circ}$. 4. Найдите длину отрезка MB ($\angle C = \angle M = 90^{\circ}$): а) В прямоугольном $\triangle MCB$ ($\angle M = 90^{\circ}$) угол $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Тогда $MB = CB \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot 0,5 = 2$. б) В прямоугольном $\triangle AMC$ ($\angle M=90^{\circ}$) катет $AM = AC \cdot \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot 0,5 = 4$. В прямоугольном $\triangle MCB$ ($CM \perp AB$): $MC^2 = AM \cdot MB \Rightarrow (4\sqrt{3})^2 = 4 \cdot MB \Rightarrow 48 = 4MB \Rightarrow MB = 12$. в) В $\triangle AMC$ ($\angle M=90^{\circ}$, $\angle A=30^{\circ}$): $CM = AM \cdot \tan(30^{\circ}) = 12 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. В $\triangle MCB$ ($\angle B=60^{\circ}$): $MB = CM / \tan(60^{\circ}) = 4\sqrt{3} / \sqrt{3} = 4$. 5. Найдите угол KAH: а) $\angle A = \angle C = (180^{\circ}-52^{\circ})/2 = 64^{\circ}$. $AK$ — биссектриса, $\angle BAK = 64^{\circ}/2 = 32^{\circ}$. $AH$ — высота, $\angle BAH = 90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ}$. $\angle KAH = 38^{\circ} - 32^{\circ} = 6^{\circ}$. б) $\angle A = \angle C = 56^{\circ}$. $\angle B = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. $\angle BAK = 56^{\circ}/2 = 28^{\circ}$. $\angle BAH = 90^{\circ} - 68^{\circ} = 22^{\circ}$. $\angle KAH = 28^{\circ} - 22^{\circ} = 6^{\circ}$. в) $\angle A = \angle C = 37^{\circ}$. $\angle B = 106^{\circ}$. $\angle BAK = 37^{\circ}/2 = 18,5^{\circ}$. $\angle BAH = 90^{\circ} - (180^{\circ}-106^{\circ}) = 90^{\circ}-74^{\circ} = 16^{\circ}$. $\angle KAH = 18,5^{\circ} + 16^{\circ} = 34,5^{\circ}$.