335 Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла. 1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. 2. Точка $O$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$. Значит, точка $O$ равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $AB$ и $BC$. Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $BC$. 3. Точка $O$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $C$. Значит, точка $O$ равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $AC$ и $BC$. Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $BC$. 4. Так как расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно расстоянию до $BC$, а расстояние до $BC$ равно расстоянию до $AC$, то получаем, что расстояния от точки $O$ до прямых $AB$ и $AC$ равны между собой. 5. Это означает, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$ и $AC$. Что и требовалось доказать.