А9 Арифметическая и геометрическая прогрессии Повторение ДЗ

Привет! Давай разберем эти задания на прогрессии. Будем использовать основные формулы: для арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$ и $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, а для геометрической $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. 1. Дано: $a_1 = -4$, $d = 2$. Найти $a_5$. $a_5 = a_1 + 4d = -4 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$. **Ответ: 4.** 2. Дано: $a_1 = -13$, $a_2 = -12,3$. Найти $a_{12}$. Разность $d = a_2 - a_1 = -12,3 - (-13) = -12,3 + 13 = 0,7$. $a_{12} = a_1 + 11d = -13 + 11 \cdot 0,7 = -13 + 7,7 = -5,3$. **Ответ: -5,3.** 3. Дано: $a_1 = 5$, $a_5 = 17$. Найти $S_8$. $a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 17 = 5 + 4d \Rightarrow 4d = 12 \Rightarrow d = 3$. Находим $a_8 = a_1 + 7d = 5 + 7 \cdot 3 = 5 + 21 = 26$. $S_8 = \frac{5 + 26}{2} \cdot 8 = 31 \cdot 4 = 124$. **Ответ: 124.** 4. Дано: $b_1 = 27$, $q = 1/3$. Найти $b_6$. $b_6 = b_1 \cdot q^5 = 27 \cdot (1/3)^5 = 27 \cdot 1/243 = 27/243 = 1/9$. **Ответ: 1/9.** 5. Дано: $b_1 = 2$, $q = 3$. Найти $S_6$. $S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(729 - 1)}{2} = 728$. **Ответ: 728.** 6. Дано: $a_6 = 27$, $a_{11} = 47$. Найти $S_{16}$. $a_{11} = a_6 + 5d \Rightarrow 47 = 27 + 5d \Rightarrow 5d = 20 \Rightarrow d = 4$. $a_1 = a_6 - 5d = 27 - 5 \cdot 4 = 27 - 20 = 7$. $a_{16} = a_1 + 15d = 7 + 15 \cdot 4 = 7 + 60 = 67$. $S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16 = \frac{7 + 67}{2} \cdot 16 = 74 \cdot 8 = 592$. **Ответ: 592.** 7. Дано: $a_1 = 25,5$, $a_9 = 5,5$. Является ли 54,5 членом этой прогрессии? $a_9 = a_1 + 8d \Rightarrow 5,5 = 25,5 + 8d \Rightarrow 8d = -20 \Rightarrow d = -2,5$. Условие члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. $54,5 = 25,5 + (n-1)(-2,5)$. $54,5 - 25,5 = (n-1)(-2,5) \Rightarrow 29 = (n-1)(-2,5) \Rightarrow n-1 = 29 / (-2,5) = -11,6$. Так как $n$ должно быть натуральным числом, а здесь $n = -10,6$, то 54,5 не является членом прогрессии. **Ответ: Нет, не является.** 8. Дано: $b_1 > b_3$ на 6, $b_4 > b_2$ на 3. $b_1 - b_3 = 6 \Rightarrow b_1 - b_1q^2 = 6 \Rightarrow b_1(1-q^2) = 6$. $b_4 - b_2 = 3 \Rightarrow b_1q^3 - b_1q = 3 \Rightarrow b_1q(q^2-1) = 3 \Rightarrow -b_1q(1-q^2) = 3$. Разделим второе уравнение на первое: $\frac{-b_1q(1-q^2)}{b_1(1-q^2)} = \frac{3}{6} \Rightarrow -q = 0,5 \Rightarrow q = -0,5$. Подставим $q$ в первое уравнение: $b_1(1 - (-0,5)^2) = 6 \Rightarrow b_1(1 - 0,25) = 6 \Rightarrow b_1 \cdot 0,75 = 6 \Rightarrow b_1 = 6 / 0,75 = 8$. Числа: $b_1 = 8$, $b_2 = 8 \cdot (-0,5) = -4$, $b_3 = -4 \cdot (-0,5) = 2$, $b_4 = 2 \cdot (-0,5) = -1$. **Ответ: 8, -4, 2, -1.**