1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

### Решение задач (Вариант 1) **Задача 1** 1. Пусть углы треугольника равны $90^\circ, 60^\circ$ и $30^\circ$ ($180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$). 2. Против угла $30^\circ$ лежит меньший катет $a$. По свойству прямоугольного треугольника, гипотенуза $c = 2a$. 3. По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см: $c + a = 18$. 4. Подставим $c = 2a$: $2a + a = 18$, значит $3a = 18$, откуда $a = 6$ см. 5. Гипотенуза $c = 2 \cdot 6 = 12$ см. **Ответ:** 12 см и 6 см. **Задача 2** 1. Рассмотрим треугольники, образованные перпендикулярами. Точка $M$ лежит на биссектрисе, значит, она равноудалена от сторон угла. 2. Треугольники, образованные вершиной угла, точкой $M$ и основаниями перпендикуляров, равны по гипотенузе и острому углу (так как $M$ на биссектрисе). 3. Из равенства треугольников следует, что соответствующие катеты $MA$ и $MK$ равны. ### Решение задач (Вариант 2) **Задача 1** 1. Пусть острые углы равны $x$ и $2x$. Сумма острых углов $90^\circ$: $x + 2x = 90^\circ$, откуда $3x = 90^\circ$, $x = 30^\circ$. Углы: $30^\circ$ и $60^\circ$. 2. Меньший катет $a$ лежит против угла $30^\circ$, значит $c = 2a$. 3. Разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: $c - a = 15$. 4. Подставим $c = 2a$: $2a - a = 15$, значит $a = 15$ см. 5. Гипотенуза $c = 2 \cdot 15 = 30$ см. **Ответ:** 30 см и 15 см. **Задача 2** 1. Аналогично Варианту 1: точка $K$ лежит на биссектрисе, следовательно, она равноудалена от сторон угла. 2. Перпендикуляры $KP$ и $KF$ являются расстояниями от точки на биссектрисе до сторон угла. 3. По свойству биссектрисы, любая точка на ней равноудалена от сторон угла, значит, $KP = KF$.