1250. Докажите тождество:

### Решение задания 1250 **а) Докажем тождество:** $a^2(a + 3b) + b^2(b + 3a) = (a + b)^3$ Раскроем скобки в левой части: $a^2 \cdot a + a^2 \cdot 3b + b^2 \cdot b + b^2 \cdot 3a = a^3 + 3a^2b + b^3 + 3ab^2$ Сгруппируем слагаемые: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ Это выражение является формулой куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ Левая часть равна правой. Тождество доказано. **б) Докажем тождество:** $(a + b)^3 - 3ab(a + b) = a^3 + b^3$ Раскроем скобки в левой части: $(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 3a^2b - 3ab^2 = a^3 + b^3$ Приведем подобные слагаемые: $a^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) + b^3 = a^3 + b^3$ $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$ Тождество доказано. ### Решение задания 1251 **Условие:** Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел кратно 8. Пусть эти числа: $n, n+1, n+2, n+3$. Произведение: $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$. Среди любых четырех последовательных целых чисел обязательно найдутся два четных числа. Одно из них обязательно делится на 2, а другое — на 4 (так как четные числа идут через одно). Произведение этих двух чисел будет делиться на $2 \cdot 4 = 8$. Следовательно, все произведение $P$ кратно 8.