Привет! Давай разберем эти задания по алгебре. Помни, что $\sqrt{a^2} = |a|$, то есть число всегда выходит положительным.
### 65. Найдите значения выражений:
**а)** $\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} + \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-2| + |\sqrt{5}-3|$
Так как $\sqrt{5} \approx 2{,}23$, то $\sqrt{5}-2 > 0$, а $\sqrt{5}-3 < 0$.
Раскрываем модули: $(\sqrt{5}-2) + (3-\sqrt{5}) = 1$.
**б)** $\sqrt{(1-3\sqrt{2})^2} + \sqrt{(5-3\sqrt{2})^2} = |1-3\sqrt{2}| + |5-3\sqrt{2}|$
$3\sqrt{2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24$.
$1-4{,}24 < 0$, значит, $|1-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}-1$.
$5-4{,}24 > 0$, значит, $|5-3\sqrt{2}| = 5-3\sqrt{2}$.
Сумма: $3\sqrt{2}-1 + 5-3\sqrt{2} = 4$.
**в)** $\sqrt{(2-\sqrt{7})^2} - \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = |2-\sqrt{7}| - |\sqrt{7}-1|$
$\sqrt{7} \approx 2{,}64$.
$2-2{,}64 < 0$, значит, $|2-\sqrt{7}| = \sqrt{7}-2$.
$\sqrt{7}-1 > 0$, значит, $|\sqrt{7}-1| = \sqrt{7}-1$.
Разность: $(\sqrt{7}-2) - (\sqrt{7}-1) = -2+1 = -1$.
**г)** $\sqrt{(8-3\sqrt{5})^2} + \sqrt{(2-3\sqrt{5})^2} = |8-3\sqrt{5}| + |2-3\sqrt{5}|$
$3\sqrt{5} = \sqrt{45} \approx 6{,}7$.
$8-6{,}7 > 0$, значит, $|8-3\sqrt{5}| = 8-3\sqrt{5}$.
$2-6{,}7 < 0$, значит, $|2-3\sqrt{5}| = 3\sqrt{5}-2$.
Сумма: $8-3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}-2 = 6$.
### 66. Сравните числа:
**а)** $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ и $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2 = 7+2+2\sqrt{14} = 9+2\sqrt{14}$.
$(\sqrt{6}+\sqrt{3})^2 = 6+3+2\sqrt{18} = 9+2\sqrt{18}$.
Так как $9+2\sqrt{14} < 9+2\sqrt{18}$, то $\sqrt{7}+\sqrt{2} < \sqrt{6}+\sqrt{3}$.
**б)** $\sqrt{12}-\sqrt{13}$ и $\sqrt{2}-\sqrt{3}$
Сравним $\sqrt{12}-\sqrt{13}$ и $\sqrt{2}-\sqrt{3}$. Это можно сделать приближенно: $3{,}46-3{,}6 < 1{,}41-1{,}73$, то есть $-0{,}14 < -0{,}32$ (неверно), $-0{,}14 > -0{,}32$. Значит, $\sqrt{12}-\sqrt{13} > \sqrt{2}-\sqrt{3}$.
**в)** $\sqrt{17}+\sqrt{11}$ и $\sqrt{18}+\sqrt{10}$
Возведем в квадрат: $17+11+2\sqrt{187} = 28+2\sqrt{187}$ и $18+10+2\sqrt{180} = 28+2\sqrt{180}$.
Так как $187 > 180$, то $\sqrt{17}+\sqrt{11} > \sqrt{18}+\sqrt{10}$.
**г)** $\sqrt{13}-\sqrt{21}$ и $\sqrt{14}-\sqrt{22}$
Аналогично пункту "б", числа отрицательные. $\sqrt{13}-\sqrt{21} \approx 3{,}6-4{,}58 = -0{,}98$.
$\sqrt{14}-\sqrt{22} \approx 3{,}74-4{,}69 = -0{,}95$.
Число $-0{,}98 < -0{,}95$. Значит, $\sqrt{13}-\sqrt{21} < \sqrt{14}-\sqrt{22}$.
### 67. Найдите значения выражений:
**а)** $\sqrt{16-6\sqrt{7}} + \sqrt{7}+5 = \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} + \sqrt{7}+5 = 3-\sqrt{7} + \sqrt{7} + 5 = 8$.
**б)** $\sqrt{177-8\sqrt{11}} - (8+4\sqrt{11}) = \sqrt{(4\sqrt{11}-1)^2} - 8 - 4\sqrt{11} = 4\sqrt{11} - 1 - 8 - 4\sqrt{11} = -9$.
**в)** $\sqrt{6-2\sqrt{5}} - 12 - \sqrt{5} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} - 12 - \sqrt{5} = \sqrt{5}-1 - 12 - \sqrt{5} = -13$.
**г)** $\sqrt{8-2\sqrt{15}} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + 8 = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + 8 = \sqrt{5}-\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + 8 = 8$.
### 68. Найдите значения выражений:
**а)** $\frac{80^n}{4^{2n-1} \cdot 5^{n-3}} = \frac{(16 \cdot 5)^n}{4^{2n} \cdot 4^{-1} \cdot 5^{n-3}} = \frac{16^n \cdot 5^n}{(4^2)^n \cdot \frac{1}{4} \cdot 5^n \cdot 5^{-3}} = \frac{16^n \cdot 5^n}{16^n \cdot 0{,}25 \cdot 5^n \cdot 0{,}008} = \frac{1}{0{,}25 \cdot 0{,}008} = \frac{1}{0{,}002} = 500$.
**б)** $\frac{75^n}{5^{2n+2} \cdot 3^{n-2}} = \frac{(25 \cdot 3)^n}{5^{2n} \cdot 5^2 \cdot 3^n \cdot 3^{-2}} = \frac{25^n \cdot 3^n}{25^n \cdot 25 \cdot 3^n \cdot \frac{1}{9}} = \frac{1}{25/9} = \frac{9}{25} = 0{,}36$.
**в)** $\frac{3^{3n+5} \cdot 2^n}{54^{n+1}} = \frac{3^{3n} \cdot 3^5 \cdot 2^n}{(27 \cdot 2)^{n+1}} = \frac{(3^3)^n \cdot 243 \cdot 2^n}{(3^3)^{n+1} \cdot 2^{n+1}} = \frac{27^n \cdot 243 \cdot 2^n}{27^n \cdot 27 \cdot 2^n \cdot 2} = \frac{243}{54} = 4{,}5$.
**г)** $\frac{9^{n+2} \cdot 4^{n+1} \cdot 5^{2n+1}}{30^{2n+2}} = \frac{3^{2n+4} \cdot 2^{2n+2} \cdot 5^{2n+1}}{(3 \cdot 2 \cdot 5)^{2n+2}} = \frac{3^{2n+4} \cdot 2^{2n+2} \cdot 5^{2n+1}}{3^{2n+2} \cdot 2^{2n+2} \cdot 5^{2n+2}} = \frac{3^2}{5^1} = \frac{9}{5} = 1{,}8$.
