Question

Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Accepted Answer

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC = 8$ см — боковые стороны, а $\angle B = 120^\circ$ — угол, противолежащий основанию $AC$. Обозначим $R$ — радиус описанной окружности.

Согласно теореме синусов для треугольника:
$\frac{AC}{\sin B} = 2R$, где $2R = D$ — диаметр описанной окружности.

1. Найдем основание $AC$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$
$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$
$AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-0.5)$
$AC^2 = 128 + 64 = 192$
$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

2. Теперь найдем диаметр $D$:
$D = \frac{AC}{\sin 120^\circ}$
$D = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$D = 8\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
$D = 16$ см.

Ответ: 16 см.

Ответ ассистента

Другие решения