№1. К окружности с центром О проведена касательная АВ (А- точка касания). Найдите радиус окружности, если ОВ=10 см и ∠АВО=30°.

1. Радиус $OA \perp AB$ (как радиус к точке касания), значит, $\triangle OAB$ прямоугольный. В нем $OA = OB \cdot \sin(\angle ABO) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5$ см. Ответ: 5. 2. $\triangle AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$). Углы при основании: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$. Касательная $AC \perp OA$, значит, $\angle OAC = 90^\circ$. Тогда $\angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$. Ответ: 54. 3. В четырехугольнике $ACOB$ углы при точках касания $C$ и $B$ равны $90^\circ$. Сумма углов четырехугольника $360^\circ$: $\angle BAC = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 122^\circ) = 58^\circ$. Ответ: 58. 4. $\angle COB = \angle AOD = 132^\circ$ (как вертикальные). В равнобедренном $\triangle COB$ ($OC=OB=R$) углы при основании равны: $\angle ACB = \angle OCB = (180^\circ - 132^\circ) / 2 = 24^\circ$. Ответ: 24. 5. $\triangle OAB$ равнобедренный, $\angle OBA = \angle OAB = 35^\circ$. Так как $\angle ABC = 50^\circ$, то $\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 50^\circ - 35^\circ = 15^\circ$. В равнобедренном $\triangle OBC$ ($OB=OC=R$) углы при основании равны, значит, $\angle BCO = \angle OBC = 15^\circ$. Ответ: 15. 6. Радиус $OK$ перпендикулярен касательной, значит $\angle OKM = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. В равнобедренном $\triangle KOM$ ($OK=OM=R$) углы при основании равны, поэтому $\angle OMK = 50^\circ$. Тогда $\angle KOM = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$. Ответ: 80.