Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Углы ABC и ADC опираются на одну дугу AC? Нет, они опираются на разные дуги. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$, тогда $\angle ADC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$. В треугольнике ADC сумма углов $180^\circ$, значит $\angle DAC + \angle DCA + \angle ADC = 180^\circ$. $\angle CAD = 80^\circ$, $\angle ACD = 180^\circ - 80^\circ - 48^\circ = 52^\circ$. Дуга CD стягивает $\angle CAD$, а $\angle ABD$ стягивает ту же дугу CD. Значит $\angle ABD = \angle CAD = 80^\circ$. (Примечание: здесь использовано свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу). Ответ: 80. 2. Пусть $\angle ABC = 101^\circ$, $\angle ALC = 121^\circ$. $AL$ — биссектриса, пусть $\angle BAL = \angle CAL = x$. В треугольнике $ALC$: $\angle LAC + \angle ALC + \angle ACB = 180^\circ \Rightarrow x + 121^\circ + \angle ACB = 180^\circ \Rightarrow \angle ACB = 59^\circ - x$. В треугольнике $ABC$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \Rightarrow 2x + 101^\circ + 59^\circ - x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ$. Тогда $\angle ACB = 59^\circ - 20^\circ = 39^\circ$. Ответ: 39. 3. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$. Радиус $R = AB / 2 = 25 / 2 = 12,5$. Ответ: 12,5. 4. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Третий угол = $180^\circ - 31^\circ - 94^\circ = 55^\circ$. Ответ: 55. 5. Считаем клетки по сетке. Катет 1 равен 4 клеткам, катет 2 равен 3 клеткам. Больший катет равен 4. Ответ: 4. 6. Точка А имеет координаты (5, 4), точка С — (1, 1). Прямая ВС — это горизонтальная линия, проходящая через точку С (уровень у=1). Расстояние от точки А до прямой ВС равно разности ординат: $4 - 1 = 3$. Ответ: 3. 7. 1) Верно, около любого треугольника можно описать окружность. 2) Неверно, только у прямоугольника (частный случай параллелограмма) все углы равны, но если это просто параллелограмм, то необязательно. Скорее всего, речь о «параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник» или «ромб», но утверждение сформулировано неточно/неверно в общем случае. 3) Верно, площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Ответ: 13.