Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 24, сторона BC равна 36, сторона AC равна 46. Найдите MN.

15. Точки M и N — середины сторон AB и BC, значит, MN — средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне (AC) и равна её половине: MN = AC / 2 = 46 / 2 = 23. Ответ: 23. 16. Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, значит, AB — диаметр этой окружности. Тогда треугольник ABC — прямоугольный (угол C опирается на диаметр). Радиус R = 8,5, значит, диаметр AB = 2 * 8,5 = 17. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: AC^2 + BC^2 = AB^2. Но в задаче дано только AC = 8, и AB = 17. Тогда BC = sqrt(17^2 - 8^2) = sqrt(289 - 64) = sqrt(225) = 15. Ответ: 15. 17. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов при боковой стороне равна 180°. Пусть острый угол равен x, тогда тупой равен x + (180 - x), или проще: тупой угол равен 180 - 113 = 67°. Так как 67° < 113°, то меньший угол равен 67°. Ответ: 67. 18. Для нахождения площади четырёхугольника на клетчатой бумаге удобнее всего разбить его на два треугольника или использовать метод вычитания из прямоугольника. Размеры прямоугольника, описанного вокруг фигуры, 4 клетки на 5 клеток. Площадь этого прямоугольника 20. Вокруг фигуры есть 4 прямоугольных треугольника: с катетами 2 и 2 (площадь 2), 2 и 3 (площадь 3), 2 и 3 (площадь 3), 2 и 2 (площадь 2). Вычитаем площади «пустых» треугольников: 20 - 2 - 3 - 3 - 2 = 10. Ответ: 10.