Дано: O-центр, DK-диаметр, KA, DB-хорды, угол OAK=угол OBA. Доказать: AK=DB.

Дано: в окружности с центром O проведен диаметр DK. KA и DB — хорды. Условие: $\angle OAK = \angle OBA$. Требуется доказать, что $AK = DB$. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники $\triangle OAK$ и $\triangle ODB$. 2. $OA = OD$ как радиусы одной окружности ($R$). 3. $OK = OB$ как радиусы одной окружности ($R$). 4. В условии сказано, что $\angle OAK = \angle OBA$. Так как $\triangle OAK$ и $\triangle ODB$ — равнобедренные (по двум сторонам $OA=OK$ и $OD=OB$ радиусы), углы при основаниях равны. Однако, из условия равенства углов $\angle OAK = \angle OBA$ и того, что $\angle OBA = \angle ODB$ (так как $\triangle ODB$ равнобедренный, $OB=OD$), получаем, что $\angle OAK = \angle ODB$. 5. Заметим, что в равнобедренном треугольнике $\triangle OAK$ угол $\angle OAK = \angle OKA$, а в $\triangle ODB$ угол $\angle ODB = \angle OBD$. 6. Так как $OA=OD$ и $OK=OB$, а углы при основаниях равны по условию ($\angle OAK = \angle ODB$), то треугольники $\triangle OAK$ и $\triangle ODB$ равны по двум сторонам и углу между ними (или по стороне и двум прилежащим углам). 7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AK = DB$. Что и требовалось доказать.