Серёжа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 22, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Серёжа? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть задуманные натуральные числа равны $x$ и $y$. По условию задачи: 1. Сумма чисел равна 22: $x + y = 22$. 2. Разность чисел больше 10, но меньше 14. Запишем это как неравенство для модуля разности: $10 < |x - y| < 14$. Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, разность $|x - y|$ должна быть целым числом. Значит, $|x - y|$ может принимать значения 11, 12 или 13. Рассмотрим систему уравнений для каждого случая, предполагая без ограничения общности $x > y$: 1. Если $|x - y| = 11$, то $x - y = 11$. Имеем систему: $\begin{cases} x + y = 22 \\ x - y = 11 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 33$, $x = 16,5$. Так как $x$ должен быть натуральным числом, этот случай не подходит. 2. Если $|x - y| = 12$, то $x - y = 12$. Имеем систему: $\begin{cases} x + y = 22 \\ x - y = 12 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 34$, $x = 17$. Тогда $y = 22 - 17 = 5$. Пара чисел: $(17; 5)$. 3. Если $|x - y| = 13$, то $x - y = 13$. Имеем систему: $\begin{cases} x + y = 22 \\ x - y = 13 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 35$, $x = 17,5$. Не подходит (число не натуральное). Таким образом, единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая условию, — это 17 и 5. **Ответ:** 17 и 5.